Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên...

Ta có $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( {{x}^{3}}-3x \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1 \right) \\
& f\left( {{x}^{3}}-3x \right)=-\dfrac{1}{2}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{3}}-3x \right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{1}}\left( -2<{{\alpha }_{1}}<0 \right) \\
& {{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{2}}\left( 0<{{\alpha }_{2}}<2 \right) \\
& {{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{3}}\left( {{\alpha }_{3}}>2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{3}}-3x \right)=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{4}}\left( {{\alpha }_{4}}<-2 \right) \\
& {{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{5}}\left( {{\alpha }_{5}}>2 \right) \\
& {{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{6}}\left( {{\alpha }_{6}}>2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3x, D=\mathbb{R}$. Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-3$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình: ${{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{1}}$ có 3 nghiệm, phương trình ${{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{2}}$ có 3 nghiệm. Mỗi phương trình ${{x}^{3}}-3x={{a}_{3}}$, ${{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{4}}$, ${{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{5}}$, ${{x}^{3}}-3x={{\alpha }_{6}}$ đều có một nghiệm.
Từ đó suy ra phương trình $\left| f\left( {{x}^{2}}-3x \right) \right|=\dfrac{1}{2}$ có 10 nghiệm.