Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị $\left( C...

Ta có: " $x_1,x_2,x_3$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng" $\Rightarrow x_2={\displaystyle \frac{x_1+x_3}{2}}$
Ta có: "Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(C\right)$ và trục $Ox$ là $S$ "
Vây dựa vào hình ảnh, ta có: $S=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}f\left(x\right)dx$
Do $f\left(x\right)$ làm hàm số bậc 3 nên ta có: $\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}f\left(x\right)dx$ $\left(1\right)$
Ta có: "diện tích $S_1$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right)+1$, $y=-f\left(x\right)-1$, $x=x_1$ và $x=x_3$ "
$\Rightarrow S_1=\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}|f\left(x\right)+1-(-f\left(x\right)-1)|dx=\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}|2f\left(x\right)+2|dx=2.\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}|f\left(x\right)+1|dx=2.\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}|f\left(x\right)-(-1)|dx$
Dựa vào đồ thị ta có thể thấy rằng, khi $x\in (x_1;x_3)$ thì đồ thị $y=f\left(x\right)$ nằm phía trên đồ thị $y=-1$
$\Rightarrow S_1=2.\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}|f\left(x\right)-(-1)|dx=2.\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}[f\left(x\right)-(-1)]dx=2[\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}1.dx]$
Trong đó: $\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}1.dx=x|\begin{array}{c}{x}_3\\ x_1\end{array}=x_3-x_1=2\sqrt{3}$
Trong đó: $\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}f\left(x\right)dx$
Mà theo $\left(1\right)$ thì ta có: $\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}f\left(x\right)dx=0$
Vậy ta có: $S_1=2[\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}1.dx]=2.(0+2\sqrt{3})=4\sqrt{3}$.