Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$ như hình vẽ.
Biết rằng đồ thị hàm số đã cho cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ${{x}_{3}}-{{x}_{1}}=2\sqrt{3}$. Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và trục $Ox$ là $S$, diện tích ${{S}_{1}}$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)+1$, $y=-f\left( x \right)-1$, $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{3}}$ bằng
A. $S+2\sqrt{3}$.
B. $S+4\sqrt{3}$.
C. $4\sqrt{3}$.
D. $8\sqrt{3}$.
Biết rằng đồ thị hàm số đã cho cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ${{x}_{3}}-{{x}_{1}}=2\sqrt{3}$. Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và trục $Ox$ là $S$, diện tích ${{S}_{1}}$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)+1$, $y=-f\left( x \right)-1$, $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{3}}$ bằng
A. $S+2\sqrt{3}$.
B. $S+4\sqrt{3}$.
C. $4\sqrt{3}$.
D. $8\sqrt{3}$.
Ta có: " ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng" $\Rightarrow {{x}_{2}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{3}}}{2}$
Ta có: "Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và trục $Ox$ là $S$ "
Vây dựa vào hình ảnh, ta có: $S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{f\left( x \right)dx-}\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}$
Do $f\left( x \right)$ làm hàm số bậc 3 nên ta có: $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{f\left( x \right)dx=}-\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}$ $\left( 1 \right)$
Ta có: "diện tích ${{S}_{1}}$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)+1$, $y=-f\left( x \right)-1$, $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{3}}$ "
$\Rightarrow {{S}_{1}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| f\left( x \right)+1-\left( -f\left( x \right)-1 \right) \right|dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| 2f\left( x \right)+2 \right|dx}=2.\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| f\left( x \right)+1 \right|dx}=2.\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| f\left( x \right)-\left( -1 \right) \right|dx}$
Dựa vào đồ thị ta có thể thấy rằng, khi $x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{3}} \right)$ thì đồ thị $y=f\left( x \right)$ nằm phía trên đồ thị $y=-1$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=2.\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| f\left( x \right)-\left( -1 \right) \right|dx}=2.\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left[ f\left( x \right)-\left( -1 \right) \right]dx}=2\left[ \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{1.dx} \right]$
Trong đó: $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{1.dx}=x\left| \begin{matrix}
{{x}_{3}} \\
{{x}_{1}} \\
\end{matrix} \right.={{x}_{3}}-{{x}_{1}}=2\sqrt{3}$
Trong đó: $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}$
Mà theo $\left( 1 \right)$ thì ta có: $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}=0$
Vậy ta có: ${{S}_{1}}=2\left[ \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{1.dx} \right]=2.\left( 0+2\sqrt{3} \right)=4\sqrt{3}$.
Ta có: "Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và trục $Ox$ là $S$ "
Vây dựa vào hình ảnh, ta có: $S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{f\left( x \right)dx-}\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}$
Do $f\left( x \right)$ làm hàm số bậc 3 nên ta có: $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{f\left( x \right)dx=}-\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}$ $\left( 1 \right)$
Ta có: "diện tích ${{S}_{1}}$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)+1$, $y=-f\left( x \right)-1$, $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{3}}$ "
$\Rightarrow {{S}_{1}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| f\left( x \right)+1-\left( -f\left( x \right)-1 \right) \right|dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| 2f\left( x \right)+2 \right|dx}=2.\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| f\left( x \right)+1 \right|dx}=2.\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| f\left( x \right)-\left( -1 \right) \right|dx}$
Dựa vào đồ thị ta có thể thấy rằng, khi $x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{3}} \right)$ thì đồ thị $y=f\left( x \right)$ nằm phía trên đồ thị $y=-1$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=2.\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| f\left( x \right)-\left( -1 \right) \right|dx}=2.\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left[ f\left( x \right)-\left( -1 \right) \right]dx}=2\left[ \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{1.dx} \right]$
Trong đó: $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{1.dx}=x\left| \begin{matrix}
{{x}_{3}} \\
{{x}_{1}} \\
\end{matrix} \right.={{x}_{3}}-{{x}_{1}}=2\sqrt{3}$
Trong đó: $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}$
Mà theo $\left( 1 \right)$ thì ta có: $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}=0$
Vậy ta có: ${{S}_{1}}=2\left[ \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{1.dx} \right]=2.\left( 0+2\sqrt{3} \right)=4\sqrt{3}$.
Đáp án C.