Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong...

Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{mf\left( x \right)+100}{f\left( x \right)+m}$. Ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{{{m}^{2}}-100}{{{\left[ f\left( x \right)+m \right]}^{2}}}{f}'\left( x \right)$
Với $m=\pm 10$ thì hàm số $g\left( x \right)$ là hàm hằng nên $y=\left| g\left( x \right) \right|$ là hàm hằng nên loại $m=\pm 10$.
Với $m\ne \pm 10$, ta có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x=-1 \\
\end{matrix} \right.$.
Do đó $g\left( x \right)$ có hai điểm cực trị nên để hàm số $y=\left| g\left( x \right) \right|$ có đúng $5$ điểm cực trị thì phương trình $g\left( x \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow mf\left( x \right)+10=0$ có ba nghiệm phân biệt.
Với $m=0$, phương trình vô nghiệm nên loại $m=0$.
Với $m\ne 0$, phương trình $\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{-100}{m}$.
Để $f\left( x \right)=\dfrac{-100}{m}$ có ba nghiệm $\Leftrightarrow -2<\dfrac{-100}{m}<2$, mà $m\in \left[ 0;2023 \right]$ nên $m>50$.
$\Rightarrow m\in \left\{ 51;52;...;2023 \right\}$. Vậy có $1973$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.