Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong...

The Professor · 28/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba

y = f (x)

có đồ thị là đường cong

(C)

trong hình bên. Hàm số

f (x)

đạt cực trị tại hai điểm

x_{1}, x_{2}

thỏa

f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0

. Gọi

A, B

là hai điểm cực trị của đồ thị

(C);

M, N, K

là giao điểm của

(C)

với trục hoành;

S

là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình,

S_{2}

là diện tích tam giác

N B K

. Biết tứ giác

M A K B

nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số

\frac{S_{1}}{S_{2}}

bằng

A.

\frac{2 \sqrt{6}}{3}

.
B.

\frac{\sqrt{6}}{2}

.
C.

\frac{5 \sqrt{3}}{6}

.
D.

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

.

Kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị

(C)

sang trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ

O

. (như hình dưới)

Do

f (x)

là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng

(O \equiv N)

.
Đặt

x_{1} = - a, x_{2} = a

, với

a > 0

\Rightarrow f^{'} (x) = k (x^{2} - a^{2})

với

k > 0

\Rightarrow f (x) = k (\frac{1}{3} x^{3} - a^{2} x)

\Rightarrow x_{M} = - a \sqrt{3}, x_{K} = a \sqrt{3}

Có

M A K B

nội tiếp đường tròn tâm

O

\Rightarrow O A = O M = a \sqrt{3}

Có

f (x_{1}) = \sqrt{O A^{2} - {x_{1}}^{2}} \Leftrightarrow f (- a) = a \sqrt{2} \Leftrightarrow k (- \frac{1}{3} a^{3} + a^{3}) = a \sqrt{2} \Leftrightarrow k = \frac{3 \sqrt{2}}{2 a^{2}}

\Rightarrow f (x) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 a^{2}} (\frac{1}{3} x^{3} - a^{2} x)

S_{1} = \int_{- a \sqrt{3}}^{0} f (x) d x = \frac{3 \sqrt{2}}{2 a^{2}} {(\frac{1}{12} x^{4} - \frac{a^{2}}{2} x^{2}) |}_{- a \sqrt{3}}^{0} = \frac{9 \sqrt{2}}{8} a^{2}

S_{2} = S_{Δ A M O} = \frac{1}{2} f (- a) . M O = \frac{1}{2} a \sqrt{2} . a \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} a^{2}

Vậy

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}

.

Đáp án D.

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong...