Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:
Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ (với $m\in \mathbb{Z}$ ; $\left| m \right|\le 2021$ ) để đồ thị hàm số $y=\left| m+f\left( \left| x \right| \right) \right|$ có đúng 7 điểm cực trị?
A. $2026$.
B. $2025$.
C. $4$.
D. $2022$.
Từ bảng biến thiên của hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$, ta có ${f}'\left( x \right)=a\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)$. Suy ra ${f\left(x\right)=a\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}+2x\right)+d}$.
Mặt khác, ${f\left(1\right)=0}$, ${f\left(2\right)=-1}$ nên ${\left\{ \begin{aligned}
a\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}+2\right)+d=0\\
a\left(\dfrac{8}{3}-\dfrac{12}{2}+4\right)+d=-1
\end{aligned} \right.}$.
Do đó, ${a=6}$ và ${d=-5}$ hay ${f\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x-5}$.
Đồ thị $y=f\left( x \right)$
Đồ thị $y=f\left( \left| x \right| \right)$
Từ đồ thị ta có $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị.
(Chú ý: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có $n=2$ điểm cực trị dương nên hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có số điểm cực trị là $2n+1=5$ Nên không cần vẽ đồ thị).
Vì hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị nên hàm số $y=m+f\left( \left| x \right| \right)$ cũng có 5 điểm cực trị (Vì đồ thị hàm số $y=m+f\left( \left| x \right| \right)$ được suy ra từ đồ thị $y=f\left( \left| x \right| \right)$ bằng cách tịnh tiến theo phương trục $Oy$ ).
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| m+f\left( \left| x \right| \right) \right|$ bằng số cực trị của hàm số $y=m+f\left( \left| x \right| \right)$ và số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình $f\left( \left| x \right| \right)+m=0$.
Vậy để $y=\left| m+f\left( \left| x \right| \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình $f\left( \left| x \right| \right)+m=0$ có hai nghiệm đơn hoặc bội lẻ.
Ta có $f\left( \left| x \right| \right)+m=0\Leftrightarrow f\left( \left| x \right| \right)=-m$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ ta có: $\left[ \begin{aligned}
& -5<-m\le -1 \\
& 0\le -m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1\le m<5 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 1 \right)$
Từ giả thiết $ \left| m \right|\le 2021\Leftrightarrow -2021\le m\le 2021$ $\left( 2 \right)$
Vậy từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ và kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}$, ta có $2026$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. $2026$.
B. $2025$.
C. $4$.
D. $2022$.
Từ bảng biến thiên của hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$, ta có ${f}'\left( x \right)=a\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)$. Suy ra ${f\left(x\right)=a\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}+2x\right)+d}$.
Mặt khác, ${f\left(1\right)=0}$, ${f\left(2\right)=-1}$ nên ${\left\{ \begin{aligned}
a\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}+2\right)+d=0\\
a\left(\dfrac{8}{3}-\dfrac{12}{2}+4\right)+d=-1
\end{aligned} \right.}$.
Do đó, ${a=6}$ và ${d=-5}$ hay ${f\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x-5}$.
Đồ thị $y=f\left( x \right)$
(Chú ý: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có $n=2$ điểm cực trị dương nên hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có số điểm cực trị là $2n+1=5$ Nên không cần vẽ đồ thị).
Vì hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị nên hàm số $y=m+f\left( \left| x \right| \right)$ cũng có 5 điểm cực trị (Vì đồ thị hàm số $y=m+f\left( \left| x \right| \right)$ được suy ra từ đồ thị $y=f\left( \left| x \right| \right)$ bằng cách tịnh tiến theo phương trục $Oy$ ).
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| m+f\left( \left| x \right| \right) \right|$ bằng số cực trị của hàm số $y=m+f\left( \left| x \right| \right)$ và số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình $f\left( \left| x \right| \right)+m=0$.
Vậy để $y=\left| m+f\left( \left| x \right| \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình $f\left( \left| x \right| \right)+m=0$ có hai nghiệm đơn hoặc bội lẻ.
Ta có $f\left( \left| x \right| \right)+m=0\Leftrightarrow f\left( \left| x \right| \right)=-m$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ ta có: $\left[ \begin{aligned}
& -5<-m\le -1 \\
& 0\le -m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1\le m<5 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 1 \right)$
Từ giả thiết $ \left| m \right|\le 2021\Leftrightarrow -2021\le m\le 2021$ $\left( 2 \right)$
Vậy từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ và kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}$, ta có $2026$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.