Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như...

Từ bảng biến thiên của hàm số bậc ba , ta có . Suy ra .
Mặt khác, , nên .
Do đó, và hay .
Đồ thị
Đồ thị
Từ đồ thị ta có có 5 điểm cực trị.
(Chú ý: Hàm số có điểm cực trị dương nên hàm số có số điểm cực trị là Nên không cần vẽ đồ thị).
Vì hàm số có 5 điểm cực trị nên hàm số cũng có 5 điểm cực trị (Vì đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị bằng cách tịnh tiến theo phương trục ).
Số điểm cực trị của hàm số bằng số cực trị của hàm số và số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình .
Vậy để có 7 điểm cực trị thì phương trình có hai nghiệm đơn hoặc bội lẻ.
Ta có .
Từ đồ thị hàm số ta có:
Từ giả thiết
Vậy từ , và kết hợp điều kiện , ta có giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán.