Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right)$ và $g\left( x...

Ta có $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Hàm số đạt cực trị tại $x=0; x=2$ và đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 1; 0 \right), \left( 0; 2 \right)$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 0 \right)=0 \\
& {f}'\left( 2 \right)=0 \\
& f\left( 1 \right)=0 \\
& f\left( 0 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-3 \\
& c=0 \\
& d=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$
Ta có $g\left( x \right)={{\left( m{{x}^{2}}+nx+p \right)}^{3}}-3{{\left( m{{x}^{2}}+nx+p \right)}^{2}}+2$. Hệ số tự do bằng ${{p}^{3}}-3{{p}^{2}}+2$.
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ đi qua điểm $\left( 0; 0 \right)$ nên ${{p}^{3}}-3{{p}^{2}}+2=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& p=1 \\
& p=1-\sqrt{3} \\
& p=1+\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Vì $p\in \mathbb{Q}$ nên $p=1$
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)=f\left( m{{x}^{2}}+nx+p \right)$ có trục đối xứng là $x=-\dfrac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số $y=m{{x}^{2}}+nx+p$ cũng có trục đối xứng là $x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow -\dfrac{n}{2m}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow m=n$
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ qua điểm $\left( -2; 2 \right)$ nên
$g\left( -2 \right)=2\Rightarrow g\left( -2 \right)={{\left( 2m+1 \right)}^{3}}-3{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}+2=2\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=n=1 \\
& m=n=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Do đồ thị có hướng quay lên trên suy ra $m>0\Rightarrow m=n=p=1$.
$\Rightarrow P=\left( n+m \right)\left( m+p \right)\left( p+2n \right)=12$.