Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc 3 $y=f\left( x \right)$ có $f\left( 0 \right)=1$ và đồ thị hàm số $y=f'\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ được mô tả như hình vẽ bên. Hỏi hàm số $y=f\left( x-1 \right)\underbrace{\sqrt{x+1}\sqrt[3]{x+2}\sqrt[4]{x+3}...\sqrt[101]{x+100}}_{100 dau can}$ có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 2.
B. 49.
C. 50.
D. 51.
Ta có
$f'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=\dfrac{1}{9}x\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x-4 \right)=\dfrac{1}{9}\left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( {{x}^{2}}-2x-8 \right)$
vì đi qua điểm (1;1).
Suy ra
$f'\left( x \right)=\dfrac{1}{9}x\left( x-8 \right)\Rightarrow \Rightarrow $
Chuyển $y=f\left( x-1 \right)\underbrace{\sqrt{x+1}\sqrt[3]{x+2}\sqrt[4]{x+3}...\sqrt[101]{x+100}}_{100 dau can}$ thành
$g\left( x \right)=f\left( x \right)\underbrace{\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+3}\sqrt[4]{x+4}...\sqrt[101]{x+101}}_{100 dau can}$ với điều kiện $x\ge -2$ và ta thấy 2 hàm số này có chung số điểm cực tiểu do đó ra chỉ quan tâm đến $g\left( x \right)$.
Có:
$g'\left( x \right)=f'\left( x \right)\left[ \sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+3}...\sqrt[101]{x+101} \right]+f\left( x \right)\left[ \dfrac{\sqrt[3]{x+2}...\sqrt[101]{x+101}}{2\sqrt{x+2}}+...+\dfrac{\sqrt{x+2}...\sqrt[101]{x+101}}{101{{\left( \sqrt[101]{x+101} \right)}^{100}}} \right]=0 \left( * \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}+\left[ \dfrac{1}{2\left( x+2 \right)}+\dfrac{1}{3\left( x+3 \right)}+\dfrac{1}{4\left( x+4 \right)}+...+\dfrac{1}{101\left( x+101 \right)} \right]=0 \\
& \Leftrightarrow h\left( x \right)=\left[ \dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}+\dfrac{1}{x-c} \right]+\left[ \dfrac{1}{2\left( x+2 \right)}+\dfrac{1}{3\left( x+3 \right)}+\dfrac{1}{4\left( x+4 \right)}+...+\dfrac{1}{101\left( x+101 \right)} \right]=0 \\
\end{aligned}$
(Với $f\left( x \right)=\dfrac{1}{27}\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)$ trong đó $a\approx 11,8;b\approx 1,6;c\approx -1,4).$
Ta có: $h'\left( x \right)=\left[ -\dfrac{1}{{{\left( x-a \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x-b \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x-c \right)}^{2}}} \right]+\left[ -\dfrac{1}{2{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{3{{\left( x+3 \right)}^{2}}}-...-\dfrac{1}{101{{\left( x+101 \right)}^{2}}} \right]<0$
Do đó ta có bảng biến thiên sau và kết luận là có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}:$
Ta lập trục xét dấu của $g'\left( x \right)$ trong (*) với chú ý ngoài cùng bên phải mang dấu dương. Do đó ta suy ra có tất cả 2 điểm cực tiểu.
Tuy nhiên học sinh cũng có thể giải mẹo như sau:
Phương trình $g\left( x \right)=f\left( x \right)\underbrace{\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+3}\sqrt[4]{x+4}...\sqrt[101]{x+101}}_{100 dau can}=0$ có 4 nghiệm
$x=-2,x\approx 11,8;x\approx 1,6;x\approx -1,4$ đồng thời hàm bậc 3
$f\left( x \right)=0$ có tối đa đủ 3 nghiệm do đó ta có thể mô tả hình vẽ như hình bên.
Từ đó ta kết luận hàm số có tất cả 2 điểm cực tiểu.
A. 2.
B. 49.
C. 50.
D. 51.
Ta có
$f'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=\dfrac{1}{9}x\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x-4 \right)=\dfrac{1}{9}\left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( {{x}^{2}}-2x-8 \right)$
vì đi qua điểm (1;1).
Suy ra
$f'\left( x \right)=\dfrac{1}{9}x\left( x-8 \right)\Rightarrow \Rightarrow $
Chuyển $y=f\left( x-1 \right)\underbrace{\sqrt{x+1}\sqrt[3]{x+2}\sqrt[4]{x+3}...\sqrt[101]{x+100}}_{100 dau can}$ thành
$g\left( x \right)=f\left( x \right)\underbrace{\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+3}\sqrt[4]{x+4}...\sqrt[101]{x+101}}_{100 dau can}$ với điều kiện $x\ge -2$ và ta thấy 2 hàm số này có chung số điểm cực tiểu do đó ra chỉ quan tâm đến $g\left( x \right)$.
Có:
$g'\left( x \right)=f'\left( x \right)\left[ \sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+3}...\sqrt[101]{x+101} \right]+f\left( x \right)\left[ \dfrac{\sqrt[3]{x+2}...\sqrt[101]{x+101}}{2\sqrt{x+2}}+...+\dfrac{\sqrt{x+2}...\sqrt[101]{x+101}}{101{{\left( \sqrt[101]{x+101} \right)}^{100}}} \right]=0 \left( * \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}+\left[ \dfrac{1}{2\left( x+2 \right)}+\dfrac{1}{3\left( x+3 \right)}+\dfrac{1}{4\left( x+4 \right)}+...+\dfrac{1}{101\left( x+101 \right)} \right]=0 \\
& \Leftrightarrow h\left( x \right)=\left[ \dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}+\dfrac{1}{x-c} \right]+\left[ \dfrac{1}{2\left( x+2 \right)}+\dfrac{1}{3\left( x+3 \right)}+\dfrac{1}{4\left( x+4 \right)}+...+\dfrac{1}{101\left( x+101 \right)} \right]=0 \\
\end{aligned}$
(Với $f\left( x \right)=\dfrac{1}{27}\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)$ trong đó $a\approx 11,8;b\approx 1,6;c\approx -1,4).$
Ta có: $h'\left( x \right)=\left[ -\dfrac{1}{{{\left( x-a \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x-b \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x-c \right)}^{2}}} \right]+\left[ -\dfrac{1}{2{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{3{{\left( x+3 \right)}^{2}}}-...-\dfrac{1}{101{{\left( x+101 \right)}^{2}}} \right]<0$
Do đó ta có bảng biến thiên sau và kết luận là có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}:$
Phương trình $g\left( x \right)=f\left( x \right)\underbrace{\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+3}\sqrt[4]{x+4}...\sqrt[101]{x+101}}_{100 dau can}=0$ có 4 nghiệm
$x=-2,x\approx 11,8;x\approx 1,6;x\approx -1,4$ đồng thời hàm bậc 3
$f\left( x \right)=0$ có tối đa đủ 3 nghiệm do đó ta có thể mô tả hình vẽ như hình bên.
Từ đó ta kết luận hàm số có tất cả 2 điểm cực tiểu.
Đáp án A.