Google
Câu hỏi: Cho hàm bậc bốn $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=3f\left( 2 \right)=-3$ và có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình bên:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng $\left( -20;20 \right)$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left[ 4f\left( x \right)-{{f}'}'\left( x \right)+m \right]$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$
A. 30.
B. 29.
C. 0.
D. 10.
A. 30.
B. 29.
C. 0.
D. 10.
Ta có: $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\Rightarrow $ ${f}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d$.
Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ $-1;0;1$ nên
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{f}'\left( -1 \right)=0 \\
{f}'\left( 0 \right)=0\ \ \\
{f}'\left( 1 \right)=0\ \ \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-4a+3b-2c+d=0\ \left( 1 \right) \\
d=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
4a+3b+2c+d=0\ \ (2) \\
\end{matrix} \right.\overset{(1)+(2)}{\mathop{\Rightarrow }} \left\{ \begin{matrix}
b=0 \\
d=0 \\
\end{matrix} \right.$.
Mặt khác: $f\left( 0 \right)=-3\Rightarrow e=-3$ và ${f}'\left( 0 \right)=0\Rightarrow d=0$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
f(2)=-1\Rightarrow 16a+4c=2 \\
{f}'\left( 1 \right)=0\Rightarrow 4a+2c=0\ \ \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=\dfrac{1}{4}\ \\
c=\dfrac{-1}{2} \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó, $y=f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-3\Rightarrow {f}''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-1$.
$\Rightarrow g\left( x \right)=f\left[ 4f\left( x \right)-{f}''\left( x \right)+m \right]=f\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-11+m \right)$.
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi
$g'\left( x \right)=\left( 4{{x}^{3}}-10x \right).{f}'\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-11+m \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$ (*)
Xét hàm số $h\left( x \right)=4{{x}^{3}}-10x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=\dfrac{\pm \sqrt{10}}{2}$.
Bảng xét dấu
$\Rightarrow h\left( x \right)=4{{x}^{3}}-10x<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
Do đó (*) $\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-11+m \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
Đặt $u\left( x \right)={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-11+m$. Với mọi $x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow u\in \left( m-15;m-11 \right)$.
Ta có ${f}'\left( u \right)\le 0, \forall u\in \left( m-15;m-11 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( m-15;m-11 \right)\subset \left( -\infty ;-1 \right] (1) \\
& \left( m-15;m-11 \right)\subseteq \left( 0;1 \right) (2) \\
\end{aligned} \right.$.
Vì độ dài của $\left( m-15;m-11 \right)$ là 4 nên (2) không thỏa mãn.
Khi đó $(1)\Leftrightarrow $ $m-11\le -1\Leftrightarrow m\le 10$ với $m\in \left( -20;20 \right)\Rightarrow m\in \left( -20;10 \right]$.
Như vậy, có 30 giá trị nguyên của m.
Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ $-1;0;1$ nên
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{f}'\left( -1 \right)=0 \\
{f}'\left( 0 \right)=0\ \ \\
{f}'\left( 1 \right)=0\ \ \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-4a+3b-2c+d=0\ \left( 1 \right) \\
d=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
4a+3b+2c+d=0\ \ (2) \\
\end{matrix} \right.\overset{(1)+(2)}{\mathop{\Rightarrow }} \left\{ \begin{matrix}
b=0 \\
d=0 \\
\end{matrix} \right.$.
Mặt khác: $f\left( 0 \right)=-3\Rightarrow e=-3$ và ${f}'\left( 0 \right)=0\Rightarrow d=0$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
f(2)=-1\Rightarrow 16a+4c=2 \\
{f}'\left( 1 \right)=0\Rightarrow 4a+2c=0\ \ \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=\dfrac{1}{4}\ \\
c=\dfrac{-1}{2} \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó, $y=f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-3\Rightarrow {f}''\left( x \right)=3{{x}^{2}}-1$.
$\Rightarrow g\left( x \right)=f\left[ 4f\left( x \right)-{f}''\left( x \right)+m \right]=f\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-11+m \right)$.
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi
$g'\left( x \right)=\left( 4{{x}^{3}}-10x \right).{f}'\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-11+m \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$ (*)
Xét hàm số $h\left( x \right)=4{{x}^{3}}-10x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=\dfrac{\pm \sqrt{10}}{2}$.
Bảng xét dấu
Do đó (*) $\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-11+m \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
Đặt $u\left( x \right)={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-11+m$. Với mọi $x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow u\in \left( m-15;m-11 \right)$.
Ta có ${f}'\left( u \right)\le 0, \forall u\in \left( m-15;m-11 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( m-15;m-11 \right)\subset \left( -\infty ;-1 \right] (1) \\
& \left( m-15;m-11 \right)\subseteq \left( 0;1 \right) (2) \\
\end{aligned} \right.$.
Vì độ dài của $\left( m-15;m-11 \right)$ là 4 nên (2) không thỏa mãn.
Khi đó $(1)\Leftrightarrow $ $m-11\le -1\Leftrightarrow m\le 10$ với $m\in \left( -20;20 \right)\Rightarrow m\in \left( -20;10 \right]$.
Như vậy, có 30 giá trị nguyên của m.
Đáp án A.
