Cho hai số thực $x$, $y$ thỏa mãn...

$2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)$.
$\Leftrightarrow 2\left( {{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+3y-1 \right)+\left( y-1 \right)=2\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x}-2\sqrt{1-x}$.
$\Leftrightarrow 2{{\left( y-1 \right)}^{3}}+\left( y-1 \right)=2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}+\sqrt{1-x} \left( 1 \right)$.
+ Xét hàm số $f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t$ trên $\left[ 0; +\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1$ $>0$ với $\forall t\ge 0$ $\Rightarrow f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\left[ 0; +\infty \right)$.
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow y-1=\sqrt{1-x}$ $\Leftrightarrow y=1+\sqrt{1-x}$.
$\Rightarrow P=x+2y=x+2+2\sqrt{1-x}$ với $\left( x\le 1 \right)$.
+ Xét hàm số $g\left( x \right)=2+x+2\sqrt{1-x}$ trên $\left( -\infty ; 1 \right]$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}$ $=\dfrac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt{1-x}}$. ${g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=0$.
Bảng biến thiên $g\left( x \right)$ :

Từ bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ suy ra giá trị lớn nhất của $P$ là: $\underset{\left( -\infty ; 1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=4$.