Cho hai số thực x, y thỏa mãn...

Ta có

Xét hàm số với , ta có
Suy ra hàm số đồng biến trên
Nên

Xét điểm thuộc đường tròn
Ta có
Đường tròn (C) có tâm , bán kính nên điểm nằm ngoài .
Gọi là giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn (C).
, với và
Tức là ta có
Trường hợp 1:
Khi đó và

Kết hợp với điều kiện (1) và a nguyên thuộc đoạn ta có
Trường hợp 2:
Khi đó và

Kết hợp với điều kiện (2) và a nguyên thuộc đoạn ta có
Trường hợp 3:
Khi đó và nên ta luôn có
Kết hợp điều kiện (3) và a nguyên thuộc đoạn ta có
Vậy