Google
Câu hỏi: Cho hai số thực x, y thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+4+\sqrt{{{y}^{2}}+6y+10}=\sqrt{6+4x-{{x}^{2}}}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left| \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-a \right|$. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ của tham số a để $M\ge 2m?$
A. 17.
B. 15.
C. 18.
D. 16.
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+4+\sqrt{{{y}^{2}}+6y+10}=\sqrt{6+4x-{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+6y+10+\sqrt{{{y}^{2}}+6y+10}=6+4x-{{x}^{2}}+\sqrt{6+4x-{{x}^{2}}} \left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$ với $t\ge 0$, ta có ${f}'\left( t \right)=2t+1>0,\forall t\ge 0.$
Suy ra hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right).$
Nên $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{y}^{2}}+6y+10} \right)=f\left( \sqrt{6+4x-{{x}^{2}}} \right)\Leftrightarrow \sqrt{{{y}^{2}}+6y+10}=\sqrt{6+4x-{{x}^{2}}}.$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+6y+10=6+4x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=9.$
Xét điểm $A\left( x;y \right)$ thuộc đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=9.$
Ta có $OA=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}.$
Đường tròn (C) có tâm $I\left( 2;-3 \right)$, bán kính $R=3$ nên điểm $O\left( 0;0 \right)$ nằm ngoài $\left( C \right)$.
Gọi ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ là giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn (C).
$\forall A\left( x;y \right)\in \left( C \right):O{{A}_{1}}\le OA\le O{{A}_{2}}$, với $O{{A}_{1}}=OI-R=\sqrt{13}-3$ và $O{{A}_{2}}=OI+R=\sqrt{13}+3.$
Tức là ta có $\sqrt{13}-3\le \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le \sqrt{13}+3\Leftrightarrow \sqrt{13}-3-a\le \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-a\le \sqrt{13}+3-a.$
Trường hợp 1: $\sqrt{13}-3-a\ge 0\Leftrightarrow a\le \sqrt{13}-3 \left( 1 \right)$
Khi đó $M=\sqrt{13}+3-a$ và $m=\sqrt{13}-3-a.$
$M\ge 2m\Leftrightarrow \sqrt{13}+3-a\ge 2\left( \sqrt{13}-3-a \right)\Leftrightarrow a\ge \sqrt{13}-9.$
Kết hợp với điều kiện (1) và a nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ ta có $a\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0 \right\}.$
Trường hợp 2: $\sqrt{13}+3-a\le 0\Leftrightarrow a\ge \sqrt{13}+3 \left( 2 \right)$
Khi đó $M=a-\sqrt{13}+3$ và $m=a-\sqrt{13}-3.$
$M\ge 2m\Leftrightarrow a-\sqrt{13}+3\ge 2\left( a-\sqrt{13}-3 \right)\Leftrightarrow a\le \sqrt{13}+9.$
Kết hợp với điều kiện (2) và a nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ ta có $a\in \left\{ 7;8;9;10 \right\}.$
Trường hợp 3: $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{13}-3-a<0 \\
& \sqrt{13}+3-a>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \sqrt{13}-3<a<\sqrt{13}+3 \left( 3 \right)$
Khi đó $M>0$ và $m=0$ nên ta luôn có $M\ge 2m.$
Kết hợp điều kiện (3) và a nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ ta có $a\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.$
Vậy $a\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\}.$
A. 17.
B. 15.
C. 18.
D. 16.
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+4+\sqrt{{{y}^{2}}+6y+10}=\sqrt{6+4x-{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+6y+10+\sqrt{{{y}^{2}}+6y+10}=6+4x-{{x}^{2}}+\sqrt{6+4x-{{x}^{2}}} \left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$ với $t\ge 0$, ta có ${f}'\left( t \right)=2t+1>0,\forall t\ge 0.$
Suy ra hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right).$
Nên $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{y}^{2}}+6y+10} \right)=f\left( \sqrt{6+4x-{{x}^{2}}} \right)\Leftrightarrow \sqrt{{{y}^{2}}+6y+10}=\sqrt{6+4x-{{x}^{2}}}.$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+6y+10=6+4x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=9.$
Xét điểm $A\left( x;y \right)$ thuộc đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=9.$
Ta có $OA=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}.$
Đường tròn (C) có tâm $I\left( 2;-3 \right)$, bán kính $R=3$ nên điểm $O\left( 0;0 \right)$ nằm ngoài $\left( C \right)$.
Gọi ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ là giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn (C).
$\forall A\left( x;y \right)\in \left( C \right):O{{A}_{1}}\le OA\le O{{A}_{2}}$, với $O{{A}_{1}}=OI-R=\sqrt{13}-3$ và $O{{A}_{2}}=OI+R=\sqrt{13}+3.$
Tức là ta có $\sqrt{13}-3\le \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le \sqrt{13}+3\Leftrightarrow \sqrt{13}-3-a\le \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-a\le \sqrt{13}+3-a.$
Trường hợp 1: $\sqrt{13}-3-a\ge 0\Leftrightarrow a\le \sqrt{13}-3 \left( 1 \right)$
Khi đó $M=\sqrt{13}+3-a$ và $m=\sqrt{13}-3-a.$
$M\ge 2m\Leftrightarrow \sqrt{13}+3-a\ge 2\left( \sqrt{13}-3-a \right)\Leftrightarrow a\ge \sqrt{13}-9.$
Kết hợp với điều kiện (1) và a nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ ta có $a\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0 \right\}.$
Trường hợp 2: $\sqrt{13}+3-a\le 0\Leftrightarrow a\ge \sqrt{13}+3 \left( 2 \right)$
Khi đó $M=a-\sqrt{13}+3$ và $m=a-\sqrt{13}-3.$
$M\ge 2m\Leftrightarrow a-\sqrt{13}+3\ge 2\left( a-\sqrt{13}-3 \right)\Leftrightarrow a\le \sqrt{13}+9.$
Kết hợp với điều kiện (2) và a nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ ta có $a\in \left\{ 7;8;9;10 \right\}.$
Trường hợp 3: $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{13}-3-a<0 \\
& \sqrt{13}+3-a>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \sqrt{13}-3<a<\sqrt{13}+3 \left( 3 \right)$
Khi đó $M>0$ và $m=0$ nên ta luôn có $M\ge 2m.$
Kết hợp điều kiện (3) và a nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ ta có $a\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.$
Vậy $a\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\}.$
Đáp án D.