Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x+2y$
A. $P=8$.
B. $P=10$.
C. $P=6$.
D. $P=4$.
A. $P=8$.
B. $P=10$.
C. $P=6$.
D. $P=4$.
Điều kiện: $x\le 1$.
Ta có $2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)$
$\Leftrightarrow 2\left( {{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+3y-1 \right)+y-1=2\sqrt{1-x}\left( 1-x \right)+\sqrt{1-x}$
$\Leftrightarrow 2{{\left( y-1 \right)}^{3}}+y-1=2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}+\sqrt{1-x}$ (*)
Xét àm số $f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t$ có ${f}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$, suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( y-1 \right)=f\left( \sqrt{1-x} \right)\Leftrightarrow y-1=\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x=2y-{{y}^{2}}$ (điều kiện $y\ge 1$ ).
Khi đó $P=x+2y=-{{y}^{2}}+4y=4-{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 4$.
Đẳng thức xảy ra khi $y=2,x=0$.
Vậy $\max P=4$ khi $\left( x;y \right)=\left( 0;2 \right)$.
Ta có $2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)$
$\Leftrightarrow 2\left( {{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+3y-1 \right)+y-1=2\sqrt{1-x}\left( 1-x \right)+\sqrt{1-x}$
$\Leftrightarrow 2{{\left( y-1 \right)}^{3}}+y-1=2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}+\sqrt{1-x}$ (*)
Xét àm số $f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t$ có ${f}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$, suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( y-1 \right)=f\left( \sqrt{1-x} \right)\Leftrightarrow y-1=\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x=2y-{{y}^{2}}$ (điều kiện $y\ge 1$ ).
Khi đó $P=x+2y=-{{y}^{2}}+4y=4-{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 4$.
Đẳng thức xảy ra khi $y=2,x=0$.
Vậy $\max P=4$ khi $\left( x;y \right)=\left( 0;2 \right)$.
Đáp án D.