Google
Câu hỏi: Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn điều kiện $2xy+{{\log }_{2}}{{\left( xy+x \right)}^{x}}=8.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=2{{x}^{2}}+y.$
A. ${{P}_{\min }}=3.$
B. ${{P}_{\min }}=2\sqrt{3}-1.$
C. ${{P}_{\min }}=5.$
D. ${{P}_{\min }}=3\sqrt[3]{4}-1.$
A. ${{P}_{\min }}=3.$
B. ${{P}_{\min }}=2\sqrt{3}-1.$
C. ${{P}_{\min }}=5.$
D. ${{P}_{\min }}=3\sqrt[3]{4}-1.$
Ta có $2xy+{{\log }_{2}}{{\left( xy+x \right)}^{x}}=8\Leftrightarrow 2xy+x.{{\log }_{2}}\left( xy+x \right)=8$
$\Leftrightarrow 2y+{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)=\dfrac{8}{x}-{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow 2y+{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)=\dfrac{8}{x}+{{\log }_{2}}\dfrac{1}{x}$
$\Leftrightarrow 2\left( y+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)=2.\dfrac{4}{x}+{{\log }_{2}}\dfrac{4}{x}\Leftrightarrow f\left( y+1 \right)=f\left( \dfrac{4}{x} \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=2t+{{\log }_{2}}t$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó $f\left( y+1 \right)=f\left( \dfrac{4}{x} \right)\Leftrightarrow y+1=\dfrac{4}{x}\Rightarrow y=\dfrac{4}{x}-1$
Suy ra $P=2{{x}^{2}}+y=2{{x}^{2}}+\dfrac{4}{x}-1=2{{x}^{2}}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x}-1\ge 3\sqrt[3]{2{{x}^{2}}.\dfrac{2}{x}.\dfrac{2}{x}}-1=5.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là 5.
$\Leftrightarrow 2y+{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)=\dfrac{8}{x}-{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow 2y+{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)=\dfrac{8}{x}+{{\log }_{2}}\dfrac{1}{x}$
$\Leftrightarrow 2\left( y+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)=2.\dfrac{4}{x}+{{\log }_{2}}\dfrac{4}{x}\Leftrightarrow f\left( y+1 \right)=f\left( \dfrac{4}{x} \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=2t+{{\log }_{2}}t$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó $f\left( y+1 \right)=f\left( \dfrac{4}{x} \right)\Leftrightarrow y+1=\dfrac{4}{x}\Rightarrow y=\dfrac{4}{x}-1$
Suy ra $P=2{{x}^{2}}+y=2{{x}^{2}}+\dfrac{4}{x}-1=2{{x}^{2}}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x}-1\ge 3\sqrt[3]{2{{x}^{2}}.\dfrac{2}{x}.\dfrac{2}{x}}-1=5.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là 5.
Đáp án C.