Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức...

Ta có:
$\begin{aligned}
& \dfrac{xy-1}{{{x}^{2}}+y}={{2}^{{{x}^{2}}-2xy+y+1}} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{xy-1}{{{x}^{2}}+y}={{2}^{{{x}^{2}}+y}}{{.2}^{-2xy+1}} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{xy-1}{{{2}^{-2xy+1}}}=\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}} \\
& \Leftrightarrow \left( xy-1 \right){{2}^{2xy-1}}=\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( 2xy-2 \right){{2}^{2xy-2+1}}=\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}} \\
& \Leftrightarrow \left( 2xy-2 \right){{2}^{2xy-2}}=\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}} \\
\end{aligned}$
Hàm số $f\left( t \right)=t{{.2}^{t}}$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\dfrac{1}{\ln 2};+\infty \right)$.
Nên với $x,y>0$ thì $\left( 2xy-2 \right){{2}^{2xy-2}}=\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}}\Leftrightarrow 2xy-2={{x}^{2}}+y\Leftrightarrow y=\dfrac{{{x}^{2}}+2}{2x-1}$.
Điều kiện $x\ne \dfrac{1}{2}$.
Ta có $y'=\dfrac{2{{x}^{2}}-2x-4}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}$
Trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$, ta có $y'=0\Leftrightarrow x=2$.
Bảng xét dấu:
Vì $y>0$ nên ${{y}_{\min }}=2$.