Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $b$ và $c$ $\left( c>0 \right)$. Kí hiệu $A$, $B$ là hai điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$. Tìm điều kiện của $b$ và $c$ để tam giác $OAB$ là tam giác vuông ( $O$ là gốc tọa độ).
A. ${{b}^{2}}=2c$.
B. $c=2{{b}^{2}}$.
C. $b=c$.
D. ${{b}^{2}}=c$.
Giả sử phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ có hai nghiệm thực thì ba điểm $O,A,B$ cùng nằm trên trục hoành (không thỏa mãn). Vậy ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ có hai nghiệm phức có phần ảo khác 0.
Khi đó, hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ là hai số phức liên hợp với nhau nên hai điểm $A$, $B$ sẽ đối xứng nhau qua trục $Ox$.
Do đó, tam giác $OAB$ cân tại $O$.
Vậy tam giác $OAB$ vuông tại $O$.
Để ba điểm $O$, $A$, $B$ tạo thành tam giác thì hai điểm $A$, $B$ không nằm trên trục tung.
Tức là nếu đặt $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& x\ne 0 \\
& y\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$.
Để phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện $\left( * \right)$ thì ${{b}^{2}}-c<0$.
${{z}^{2}}+2bz+c=0\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}+c-{{b}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}={{b}^{2}}-c\Leftrightarrow z=-b\pm i\sqrt{c-{{b}^{2}}}$
Đặt $A\left( -b;\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)$ và $B\left( -b;-\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)$
Theo đề ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-c+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}=c$.
A. ${{b}^{2}}=2c$.
B. $c=2{{b}^{2}}$.
C. $b=c$.
D. ${{b}^{2}}=c$.
Giả sử phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ có hai nghiệm thực thì ba điểm $O,A,B$ cùng nằm trên trục hoành (không thỏa mãn). Vậy ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ có hai nghiệm phức có phần ảo khác 0.
Khi đó, hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ là hai số phức liên hợp với nhau nên hai điểm $A$, $B$ sẽ đối xứng nhau qua trục $Ox$.
Do đó, tam giác $OAB$ cân tại $O$.
Vậy tam giác $OAB$ vuông tại $O$.
Để ba điểm $O$, $A$, $B$ tạo thành tam giác thì hai điểm $A$, $B$ không nằm trên trục tung.
Tức là nếu đặt $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& x\ne 0 \\
& y\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$.
Để phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0$ có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện $\left( * \right)$ thì ${{b}^{2}}-c<0$.
${{z}^{2}}+2bz+c=0\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}+c-{{b}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}={{b}^{2}}-c\Leftrightarrow z=-b\pm i\sqrt{c-{{b}^{2}}}$
Đặt $A\left( -b;\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)$ và $B\left( -b;-\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)$
Theo đề ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-c+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}=c$.
Đáp án B.