Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+6 \right|=5,$ $ \left| {{z}_{2}}+2-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-2-6i \right|$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{5}{2}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{5}{2}$.
Gọi ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i, {{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$, với ${{x}_{1}},{{y}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R}$.
Do $\left| {{z}_{1}}+6 \right|=5\Rightarrow \left| {{x}_{1}}+6+{{y}_{1}}i \right|=5\Rightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+6 \right)}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}}=5\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+6 \right)}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}=25$.
$\Rightarrow $ Điểm ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ thuộc đường tròn $(C):{{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25$.
Do $\left| {{z}_{2}}+2-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-2-6i \right|\Rightarrow \left| {{x}_{2}}+2+\left( {{y}_{2}}-3 \right)i \right|=\left| {{x}_{2}}-2+\left( {{y}_{2}}-6 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-3 \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 8{{x}_{2}}+6{{y}_{2}}-27=0$
$\Rightarrow $ Điểm ${{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ thuộc đường thẳng $d:8x+6y-27=0$.
$\Rightarrow $ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}}+\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)i \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=\left| \overrightarrow{{{M}_{2}}{{M}_{1}}} \right|={{M}_{1}}{{M}_{2}}$
Đường tròn $(C)$ có tâm $I\left( -6;0 \right)$, bán kính $R=5$. Ta có $d\left( I,d \right)=\dfrac{\left| 8.\left( -6 \right)+6.0-27 \right|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\dfrac{15}{2}$
$\Rightarrow $ d và $(C)$ không có điểm chung.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên d, $A$ là giao điểm của đoạn $IH$ và $(C)$
$\Rightarrow $ $AH=IH-R=d\left( I,d \right)-R=\dfrac{5}{2}$ (hình vẽ).
Nhận xét: với mọi điểm ${{M}_{1}}\in \left( C \right)$, ${{M}_{2}}\in d$ thì ${{M}_{1}}{{M}_{2}}\ge AH$.
$\Rightarrow $ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|={{M}_{1}}{{M}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{5}{2}$ (bằng $AH$ khi ${{M}_{1}}\equiv A,{{M}_{2}}\equiv H$ ).
Do $\left| {{z}_{1}}+6 \right|=5\Rightarrow \left| {{x}_{1}}+6+{{y}_{1}}i \right|=5\Rightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+6 \right)}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}}=5\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+6 \right)}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}=25$.
$\Rightarrow $ Điểm ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ thuộc đường tròn $(C):{{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25$.
Do $\left| {{z}_{2}}+2-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-2-6i \right|\Rightarrow \left| {{x}_{2}}+2+\left( {{y}_{2}}-3 \right)i \right|=\left| {{x}_{2}}-2+\left( {{y}_{2}}-6 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-3 \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 8{{x}_{2}}+6{{y}_{2}}-27=0$
$\Rightarrow $ Điểm ${{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ thuộc đường thẳng $d:8x+6y-27=0$.
$\Rightarrow $ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}}+\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)i \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=\left| \overrightarrow{{{M}_{2}}{{M}_{1}}} \right|={{M}_{1}}{{M}_{2}}$
Đường tròn $(C)$ có tâm $I\left( -6;0 \right)$, bán kính $R=5$. Ta có $d\left( I,d \right)=\dfrac{\left| 8.\left( -6 \right)+6.0-27 \right|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\dfrac{15}{2}$
$\Rightarrow $ d và $(C)$ không có điểm chung.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên d, $A$ là giao điểm của đoạn $IH$ và $(C)$
$\Rightarrow $ $AH=IH-R=d\left( I,d \right)-R=\dfrac{5}{2}$ (hình vẽ).
Nhận xét: với mọi điểm ${{M}_{1}}\in \left( C \right)$, ${{M}_{2}}\in d$ thì ${{M}_{1}}{{M}_{2}}\ge AH$.
$\Rightarrow $ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|={{M}_{1}}{{M}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{5}{2}$ (bằng $AH$ khi ${{M}_{1}}\equiv A,{{M}_{2}}\equiv H$ ).
Đáp án D.