Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1-i \right|=2$ và ${{z}_{2}}=i{{z}_{1}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ ?
A. $m=\sqrt{2}-1$.
B. $m=2\sqrt{2}$.
C. $m=2$.
D. $m=2\sqrt{2}-2$.
A. $m=\sqrt{2}-1$.
B. $m=2\sqrt{2}$.
C. $m=2$.
D. $m=2\sqrt{2}-2$.
Đặt ${{z}_{1}}=a+bi;a,b\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow {{z}_{2}}=-b+ai$
$\Rightarrow {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a+b \right)+\left( b-a \right)i$.
Nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( b-a \right)}^{2}}}=\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|$
Ta lại có $2=\left| {{z}_{1}}+1-i \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| 1-i \right|=\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{2}$
$\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\ge 2-\sqrt{2}$. Suy ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|\ge 2\sqrt{2}-2$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{-1}<0$.
Vậy $m=\min \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}-2$.
$\Rightarrow {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a+b \right)+\left( b-a \right)i$.
Nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( b-a \right)}^{2}}}=\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|$
Ta lại có $2=\left| {{z}_{1}}+1-i \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| 1-i \right|=\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{2}$
$\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\ge 2-\sqrt{2}$. Suy ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|\ge 2\sqrt{2}-2$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{-1}<0$.
Vậy $m=\min \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}-2$.
Đáp án D.