Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2}$ và $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $2\sqrt{2}+1.$
B. $\sqrt{2}-1.$
C. $2\sqrt{2}-1.$
D. $\sqrt{2}+1.$
A. $2\sqrt{2}+1.$
B. $\sqrt{2}-1.$
C. $2\sqrt{2}-1.$
D. $\sqrt{2}+1.$
Gọi $M\left( x;y \right),A\left( -2;1 \right),B\left( 4;7 \right)$ lần lượt biểu diễn số phức ${{z}_{1}},-2+i,4+7i.$
Do đó $\left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=AB\Rightarrow M$ thuộc đoạn $AB$
Đặt $w=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{2}}=-w$ nên $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| -iw-1+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| w-2-i \right|=1$
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1.$
Khi đó $P=\left| {{z}_{1}}-w \right|=MN$, với $N$ biểu diễn $w$ và $N\in \left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;1 \right)$, bán kính $R=1$
Dựa vào hình vẽ, ta thấy $M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow MN=MI-NI=d\left[ I;\left( AB \right) \right]-R$
Phương trình đường thẳng $\left( AB \right):x-y+3=0\Rightarrow d\left[ I;\left( AB \right) \right]=2\sqrt{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là ${{P}_{\min }}=2\sqrt{2}-1.$
Đặt $w=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{2}}=-w$ nên $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| -iw-1+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| w-2-i \right|=1$
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1.$
Khi đó $P=\left| {{z}_{1}}-w \right|=MN$, với $N$ biểu diễn $w$ và $N\in \left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;1 \right)$, bán kính $R=1$
Dựa vào hình vẽ, ta thấy $M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow MN=MI-NI=d\left[ I;\left( AB \right) \right]-R$
Phương trình đường thẳng $\left( AB \right):x-y+3=0\Rightarrow d\left[ I;\left( AB \right) \right]=2\sqrt{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là ${{P}_{\min }}=2\sqrt{2}-1.$
Đáp án C.