Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-1+i \right|=1$ và ${{z}_{2}}=2i{{z}_{1}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của biểu thức $P=\left| 2{{\text{z}}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
A. ${{P}_{\min }}=2-\sqrt{2}$
B. ${{P}_{\min }}=8-\sqrt{2}$
C. ${{P}_{\min }}=2-2\sqrt{2}$
D. ${{P}_{\min }}=4-2\sqrt{2}$
Từ ${{z}_{2}}=2i{{z}_{1}}$ ta được $P=\left| 2{{\text{z}}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| 2{{z}_{1}}-2i{{z}_{1}} \right|=\left| \left( 2-2i \right){{z}_{1}} \right|=\left| 2-2i \right|.\left| {{z}_{1}} \right|=2\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|$.
Gọi $M(a;b)$ là điểm biểu diễn hình học của số phức ${{z}_{1}}$.
Từ giả thiết $\left| {{z}_{1}}-1+i \right|=1$ ta được
$\left| \left( a-1 \right)+\left( b+1 \right)i \right|=1\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=1$.
Suy ra M thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-1)$, bán kính $R=1$.
Ta có $P=2\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|=2\sqrt{2}.OM$ nên P đạt giá trị nhỏ nhất khi OM là nhỏ nhất.
Giả sử OI cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm A, B với A nằm giữa O và I.
Ta có $OM+MI\ge OI\Leftrightarrow OM+MI\ge OA+AI\Leftrightarrow OM\ge OA$ (do $IM=AI=R$ ).
Nên OM nhỏ nhất bằng OA khi $M\equiv A$ và $OM=OI-R=\sqrt{2}-1$.
Khi đó ${{P}_{\min }}=2\sqrt{2}\left( \sqrt{2}-1 \right)=4-2\sqrt{2}$.
A. ${{P}_{\min }}=2-\sqrt{2}$
B. ${{P}_{\min }}=8-\sqrt{2}$
C. ${{P}_{\min }}=2-2\sqrt{2}$
D. ${{P}_{\min }}=4-2\sqrt{2}$
Từ ${{z}_{2}}=2i{{z}_{1}}$ ta được $P=\left| 2{{\text{z}}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| 2{{z}_{1}}-2i{{z}_{1}} \right|=\left| \left( 2-2i \right){{z}_{1}} \right|=\left| 2-2i \right|.\left| {{z}_{1}} \right|=2\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|$.
Gọi $M(a;b)$ là điểm biểu diễn hình học của số phức ${{z}_{1}}$.
Từ giả thiết $\left| {{z}_{1}}-1+i \right|=1$ ta được
$\left| \left( a-1 \right)+\left( b+1 \right)i \right|=1\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=1$.
Suy ra M thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-1)$, bán kính $R=1$.
Ta có $P=2\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|=2\sqrt{2}.OM$ nên P đạt giá trị nhỏ nhất khi OM là nhỏ nhất.
Giả sử OI cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm A, B với A nằm giữa O và I.
Ta có $OM+MI\ge OI\Leftrightarrow OM+MI\ge OA+AI\Leftrightarrow OM\ge OA$ (do $IM=AI=R$ ).
Nên OM nhỏ nhất bằng OA khi $M\equiv A$ và $OM=OI-R=\sqrt{2}-1$.
Khi đó ${{P}_{\min }}=2\sqrt{2}\left( \sqrt{2}-1 \right)=4-2\sqrt{2}$.
Đáp án D.