Cho hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thoả mãn $\left|...

Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i$ khi đó $\left| {{z}_{1}}+1+i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}+1 \right)}^{2}}=4.$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}$ là đường tròn tâm $I\left( -1;-1 \right)$ bán kính $R=2.$
Đặt ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là $M\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right).$
Gọi $A\left( 2;-1 \right);B\left( 3;3 \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức $2-i$ và $3+3i$ trên mặt phẳng phức.
Khi đó
$\left| {{z}_{2}}-2+i \right|+\left| {{z}_{2}}-3-3i \right|=\sqrt{17}\Leftrightarrow MA+MB=\sqrt{17}=AB.$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{2}}$ là đoạn thẳng AB.
Gọi ${A}'\left( -2;1 \right);{B}'\left( -3;-3 \right)$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A;B$ qua gốc toạ độ $O$ khi đó tập hợp các điểm của số phức $-{{z}_{2}}$ là đoạn thẳng ${A}'{B}'.$
Xét $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-\left( -{{z}_{2}} \right) \right|={{M}_{1}}{{M}_{2}}$ với ${{M}_{1}};{{M}_{2}}$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức ${{z}_{1}}$ và $-{{z}_{2}}.$ Vậy để $P$ nhận giá trị nhỏ nhất thì ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ ngắn nhất, dựa vào hình vẽ
Ta thấy đoạn thẳng ${A}'{B}'$ cắt đường tròn tâm $I.$ Nên để đoạn thẳng ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ ngắn nhất thì ${{M}_{1}}\equiv {{M}_{2}}$ suy ra giá trị nhỏ nhất là $P=0.$