Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=6,\left| {{z}_{2}} \right|=2$. Gọi $M,N$ là các điểm biểu diễn cho ${{z}_{1}}$ và $i{{z}_{2}}$. Biết $\widehat{MON}=60{}^\circ $. Tính $T=\left| z_{1}^{2}+9z_{2}^{2} \right|$.
A. $T=18$.
B. $T=24\sqrt{3}$.
C. $T=36\sqrt{2}$.
D. $T=36\sqrt{3}$.
Ta có $T=\left| z_{1}^{2}+9z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-{{\left( 3i{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-3i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+3i{{z}_{2}} \right|$
Gọi $P$ là điểm biểu diễn của số phức $3i{{z}_{2}}$.
Khi đó $\left| {{z}_{1}}-3i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+3i{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP} \right|.\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP} \right|$
$=\left| \overrightarrow{PM} \right|.\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2PM.OI$
Do $\widehat{MON}=60{}^\circ $ và $OM=OP=6$ nên $\Delta MOP$ đều, suy ra $PM=6$ và $OI=6.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.
Vậy $T=2PM.OI=2.6.3\sqrt{3}=36\sqrt{3}$.
A. $T=18$.
B. $T=24\sqrt{3}$.
C. $T=36\sqrt{2}$.
D. $T=36\sqrt{3}$.
Ta có $T=\left| z_{1}^{2}+9z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-{{\left( 3i{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-3i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+3i{{z}_{2}} \right|$
Gọi $P$ là điểm biểu diễn của số phức $3i{{z}_{2}}$.
Khi đó $\left| {{z}_{1}}-3i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+3i{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP} \right|.\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP} \right|$
$=\left| \overrightarrow{PM} \right|.\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2PM.OI$
Do $\widehat{MON}=60{}^\circ $ và $OM=OP=6$ nên $\Delta MOP$ đều, suy ra $PM=6$ và $OI=6.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.
Vậy $T=2PM.OI=2.6.3\sqrt{3}=36\sqrt{3}$.
Đáp án D.