Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1.$ Tính $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|.$
A. $\sqrt{3}.$
B. $2\sqrt{3}.$
C. 1
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Với hai số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ bất kì ta luôn có
Ta có: $O{{I}^{2}}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$
$\Leftrightarrow 4O{{I}^{2}}+A{{B}^{2}}=2\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)\Leftrightarrow O{{D}^{2}}+A{{B}^{2}}=2\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)$
$\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right).$
Áp dụng ta có: ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{1}^{2}}=2\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right).$ Từ đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}.$
A. $\sqrt{3}.$
B. $2\sqrt{3}.$
C. 1
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Với hai số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ bất kì ta luôn có
${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right).$
Thật vậy: Gọi A, B lần lượt là hai điểm trong mặt phẳng tọa độ lần lượt biểu diễn hai số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$. Goi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành OADB và I là tâm của hình bình hành. Khi đó ta có $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| \overrightarrow{OA} \right|; \left| {{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OB} \right|; \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OD} \right|; \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{BA} \right|$ Ta có: $O{{I}^{2}}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$
$\Leftrightarrow 4O{{I}^{2}}+A{{B}^{2}}=2\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)\Leftrightarrow O{{D}^{2}}+A{{B}^{2}}=2\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)$
$\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right).$
Áp dụng ta có: ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{1}^{2}}=2\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right).$ Từ đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}.$
Đáp án A.