Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa $\left| i{{z}_{1}}-1 \right|=1$ và $\left| {{{\bar{z}}}_{2}}+i \right|=2$. Giá trị nhỏ nhất của $P=\left| 2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ là
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
Ta có: $\left| i{{z}_{1}}-1 \right|=1\Leftrightarrow \left| i \right|\left| {{z}_{1}}-\dfrac{1}{i} \right|=1$ $\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+i \right|=1\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{1}}+2i \right|=2$.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $2{{z}_{1}}$.
$\Rightarrow $ Tập hợp $M$ thuộc đường tròn tâm $I(0;-2)$, $R=2$.
Ta có: $\left| {{{\bar{z}}}_{2}}+i \right|=2\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-i \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| -3{{z}_{2}}+3i \right|=6$.
Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức $-3{{z}_{2}}$.
$\Rightarrow $ Tập hợp $N$ thuộc đường tròn tâm ${I}'(0;-3)$, ${R}'=6$.
Suy ra: $P=\left| 2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=MN$
$\Rightarrow {{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{N}_{\min }}$ $\Leftrightarrow M, N, I, {I}'$ thẳng hàng $\Leftrightarrow MN=3$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
Ta có: $\left| i{{z}_{1}}-1 \right|=1\Leftrightarrow \left| i \right|\left| {{z}_{1}}-\dfrac{1}{i} \right|=1$ $\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+i \right|=1\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{1}}+2i \right|=2$.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $2{{z}_{1}}$.
$\Rightarrow $ Tập hợp $M$ thuộc đường tròn tâm $I(0;-2)$, $R=2$.
Ta có: $\left| {{{\bar{z}}}_{2}}+i \right|=2\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-i \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| -3{{z}_{2}}+3i \right|=6$.
Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức $-3{{z}_{2}}$.
$\Rightarrow $ Tập hợp $N$ thuộc đường tròn tâm ${I}'(0;-3)$, ${R}'=6$.
Suy ra: $P=\left| 2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=MN$
$\Rightarrow {{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{N}_{\min }}$ $\Leftrightarrow M, N, I, {I}'$ thẳng hàng $\Leftrightarrow MN=3$.
Đáp án C.