Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ có điểm biểu diễn lần lượt là ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ cùng thuộc đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1.$ Tính giá trị biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|.$
A. $P=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$.
B. $P=\sqrt{2}.$
C. $P=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D. $P=\sqrt{3}.$
A. $P=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$.
B. $P=\sqrt{2}.$
C. $P=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D. $P=\sqrt{3}.$
Cách 1:
Với hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ bất kì ta luôn có:
Theo bài ra: ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ cùng thuộc đường tròn có phương tình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.$ Suy ra ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=1.$
Do đó: ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( 1+1 \right)-{{1}^{2}}=3\Rightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}.$
Cách 2:
Ta có ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ cùng thuộc đường tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính $R=1.$
Vì $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1$ nên suy ra ${{M}_{1}}{{M}_{2}}=1.$
Vậy tam giác $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ là tam giác đều cạnh bằng 1.
Gọi $H$ là trung điểm của ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ thì $OH$ là trung tuyến của tam giác đều $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ có cạnh bằng 1. Suy ra $OH=\dfrac{1.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Ta có $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{O{{M}_{1}}}+\overrightarrow{O{{M}_{2}}} \right|=\left| 2\overrightarrow{OH} \right|=2OH=2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$
Với hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ bất kì ta luôn có:
${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right).$
Suy ra ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)-{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}.$ Theo bài ra: ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ cùng thuộc đường tròn có phương tình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.$ Suy ra ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=1.$
Do đó: ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( 1+1 \right)-{{1}^{2}}=3\Rightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}.$
Cách 2:
Ta có ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ cùng thuộc đường tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$ bán kính $R=1.$
Vì $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1$ nên suy ra ${{M}_{1}}{{M}_{2}}=1.$
Vậy tam giác $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ là tam giác đều cạnh bằng 1.
Gọi $H$ là trung điểm của ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ thì $OH$ là trung tuyến của tam giác đều $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ có cạnh bằng 1. Suy ra $OH=\dfrac{1.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Ta có $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{O{{M}_{1}}}+\overrightarrow{O{{M}_{2}}} \right|=\left| 2\overrightarrow{OH} \right|=2OH=2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$
Đáp án D.