Google
Câu hỏi: Cho hai số phức ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}$, ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}$ $\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{1}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| \dfrac{{{z}_{1}}-i}{{{z}_{1}}+2-3i} \right|=1$ ; $\left| \dfrac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2}$. Khi $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{y}_{1}}+{{y}_{2}}$ có giá trị bằng
A. 0.
B. 2.
C. 4.
D. $2\sqrt{2}$.
A. 0.
B. 2.
C. 4.
D. $2\sqrt{2}$.
Điều kiện ${{z}_{1}}\ne -2+3i$ ; ${{z}_{2}}\ne 1-i$.
Ta có $\left| \dfrac{{{z}_{1}}-i}{{{z}_{1}}+2-3i} \right|=1\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-i \right|=\left| {{z}_{1}}+2-3i \right|\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}+\left( {{y}_{1}}-1 \right)i \right|=\left| \left( {{x}_{1}}+2 \right)+\left( {{y}_{1}}-3 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_{1}^{2}+{{\left( {{y}_{1}}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-3 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}-{{y}_{1}}+3=0$
Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ thuộc đường thẳng $\Delta $ : $x-y+3=0$
Ta có $\left| \dfrac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+i \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-1+i \right|\Leftrightarrow \left| {{x}_{2}}+\left( {{y}_{2}}+1 \right)i \right|=\sqrt{2}\left| \left( {{x}_{2}}-1 \right)+\left( {{y}_{2}}+1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_{2}^{2}+{{\left( {{y}_{2}}+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow x_{2}^{2}-4{{x}_{2}}+2{{y}_{2}} +3=0$
Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( C \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y+3=0$ có tâm $I\left( 2;-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-3}=\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ I đến $\Delta $ là $d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\left| 2-\left( -1 \right)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=3\sqrt{2}>R\Rightarrow $ Đường thẳng $\Delta $ và đường tròn C không có điểm chung.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$, suy ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất.
Dễ thấy $\min MN=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ khi $M\left( -1;2 \right)$, $N\left( 1;0 \right)$
Vậy $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{2}$ khi ${{z}_{1}}=-1+2i$ ; ${{z}_{2}}=1$
Khi đó ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-1+2+1=2$.
Ta có $\left| \dfrac{{{z}_{1}}-i}{{{z}_{1}}+2-3i} \right|=1\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-i \right|=\left| {{z}_{1}}+2-3i \right|\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}+\left( {{y}_{1}}-1 \right)i \right|=\left| \left( {{x}_{1}}+2 \right)+\left( {{y}_{1}}-3 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_{1}^{2}+{{\left( {{y}_{1}}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-3 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}-{{y}_{1}}+3=0$
Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ thuộc đường thẳng $\Delta $ : $x-y+3=0$
Ta có $\left| \dfrac{{{z}_{2}}+i}{{{z}_{2}}-1+i} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+i \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-1+i \right|\Leftrightarrow \left| {{x}_{2}}+\left( {{y}_{2}}+1 \right)i \right|=\sqrt{2}\left| \left( {{x}_{2}}-1 \right)+\left( {{y}_{2}}+1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_{2}^{2}+{{\left( {{y}_{2}}+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow x_{2}^{2}-4{{x}_{2}}+2{{y}_{2}} +3=0$
Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( C \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y+3=0$ có tâm $I\left( 2;-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-3}=\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ I đến $\Delta $ là $d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\left| 2-\left( -1 \right)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=3\sqrt{2}>R\Rightarrow $ Đường thẳng $\Delta $ và đường tròn C không có điểm chung.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$, suy ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất.
Dễ thấy $\min MN=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ khi $M\left( -1;2 \right)$, $N\left( 1;0 \right)$
Vậy $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{2}$ khi ${{z}_{1}}=-1+2i$ ; ${{z}_{2}}=1$
Khi đó ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-1+2+1=2$.
Đáp án B.