Cho hai số phức $z_1=x_1+y_1$...

Điều kiện $z_1\ne -2+3i$ ; $z_2\ne 1-i$.
Ta có $\left|{\displaystyle \frac{z_1-i}{z_1+2-3i}}\right|=1\iff |z_1-i|=|z_1+2-3i|\iff |x_1+(y_1-1)i|=|(x_1+2)+(y_1-3)i|$
$\iff \sqrt{x_1^2+{(y_1-1)}^2}=\sqrt{{(x_1+2)}^2+{(y_1-3)}^2}\iff x_1-y_1+3=0$
Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức $z_1$ thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ : $x-y+3=0$
Ta có $\left|{\displaystyle \frac{z_2+i}{z_2-1+i}}\right|=\sqrt{2}\iff |z_2+i|=\sqrt{2}|z_2-1+i|\iff |x_2+(y_2+1)i|=\sqrt{2}|(x_2-1)+(y_2+1)i|$
$\iff \sqrt{x_2^2+{(y_2+1)}^2}=\sqrt{2}\sqrt{{(x_2-1)}^2+{(y_2+1)}^2}\iff x_2^2-4x_2+2y_2+3=0$
Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức $z_2$ là đường tròn $\left(C\right)$ : $x^2+y^2-4x+2y+3=0$ có tâm $I(2;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{2^2+{(-1)}^2-3}=\sqrt{2}$.

Khoảng cách từ I đến $\mathrm{\Delta }$ là $d(I;\mathrm{\Delta })={\displaystyle \frac{|2-(-1)+3|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}}}=3\sqrt{2}>R\Rightarrow$ Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và đường tròn C không có điểm chung.
Ta có: $|z_1-z_2|=MN$, suy ra $|z_1-z_2|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất.
Dễ thấy $minMN=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ khi $M(-1;2)$, $N(1;0)$
Vậy $|z_1-z_2|$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{2}$ khi $z_1=-1+2i$ ; $z_2=1$
Khi đó $x_1+x_2+y_1+y_2=-1+2+1=2$.