Google
Câu hỏi: Cho hai khối nón có chung trục SS' = 3r. Khối nón thứ nhất có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm S' bán kính bằng 2r; khối nón thứ hai có đỉnh S', đáy là hình tròn tâm S bán kính bằng r. Tính theo r thế tích phần chung của hai khối nón đã cho.
A. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{9}.$
B. $\dfrac{\pi {{r}^{3}}}{9}.$
C. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{27}.$
D. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{3}.$
A. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{9}.$
B. $\dfrac{\pi {{r}^{3}}}{9}.$
C. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{27}.$
D. $\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{3}.$
Cắt hai khối nón bởi mặt phẳng qua trục SS' ta thu được thiết diện như hình vẽ.
Phần chung của hai khối nón đã cho chính là hai khối nón có chung đáy là hình tròn đường kính EF có đỉnh lần lượt là S và S'.
Ta có $\dfrac{FS}{FA}=\dfrac{SD}{S'A}=\dfrac{1}{2}$ nên $\dfrac{SH}{HS'}=\dfrac{SF}{FA}=\dfrac{1}{2}$. Do đó $SH=r$ và $S'H=2r.$
Lại có $\dfrac{FH}{AS'}=\dfrac{SH}{SS'}=\dfrac{1}{3}$ nên $FH=\dfrac{2r}{3}.$
Thể tích khối nón có đỉnh S, đáy là hình tròn đường kính FE là
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi F{{H}^{2}}.SH$
Thể tích khối nón có đỉnh S', đáy là hình tròn đường kính FE là
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi F{{H}^{2}}.S'H$
Vậy thể tích phần chung của hai khối nón đã cho là
$V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi F{{H}^{2}}\left( SH+SH' \right)=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{9}.$
Phần chung của hai khối nón đã cho chính là hai khối nón có chung đáy là hình tròn đường kính EF có đỉnh lần lượt là S và S'.
Ta có $\dfrac{FS}{FA}=\dfrac{SD}{S'A}=\dfrac{1}{2}$ nên $\dfrac{SH}{HS'}=\dfrac{SF}{FA}=\dfrac{1}{2}$. Do đó $SH=r$ và $S'H=2r.$
Lại có $\dfrac{FH}{AS'}=\dfrac{SH}{SS'}=\dfrac{1}{3}$ nên $FH=\dfrac{2r}{3}.$
Thể tích khối nón có đỉnh S, đáy là hình tròn đường kính FE là
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi F{{H}^{2}}.SH$
Thể tích khối nón có đỉnh S', đáy là hình tròn đường kính FE là
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi F{{H}^{2}}.S'H$
Vậy thể tích phần chung của hai khối nón đã cho là
$V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi F{{H}^{2}}\left( SH+SH' \right)=\dfrac{4\pi {{r}^{3}}}{9}.$
Đáp án A.