Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ có cạnh bằng 1, lần lượt trên...

Dựng điểm $H$ sao cho $EFH.BAD$ là hình lăng trụ. Gọi $N$ là hình chiếu của $B$ lên $ED$, $S$ là điểm đối xứng của $B$ qua $N$, gọi $K$ là trung điểm của $ED.$
Gọi $M$ là hình chiếu của $S$ lên $BD$, $I=SM\cap EH$. Ta có: $BD=\sqrt{2};DE=\sqrt{3}$
Xét tam giác vuông $BED$ ta có: $BN=\sqrt{\dfrac{B{{E}^{2}}.B{{D}^{2}}}{B{{E}^{2}}+B{{D}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3};$
$DN=\dfrac{D{{B}^{2}}}{ED}=\dfrac{2}{\sqrt{3}};KN=DN-\dfrac{DE}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
Xét tam giác $SBD$ ta có: $SM.BD=DN.SB$
$\Rightarrow SM=\dfrac{SB.DN}{BD}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow IS=\dfrac{1}{3}$
Xét tam giác vuông $SIH$ ta có: $IH=\sqrt{S{{H}^{2}}-S{{I}^{2}}}$
$=\sqrt{{{\left( 2NK \right)}^{2}}-S{{I}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\Rightarrow \dfrac{EI}{EH}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( I,\left( ABEF \right) \right)}{d\left( H,\left( ABEF \right) \right)}=\dfrac{EI}{EH}=\dfrac{2}{3}.$ Do $SI//\left( ABEF \right)$
$\Rightarrow d\left( S,\left( ABEF \right) \right)=d\left( I,\left( ABEF \right) \right)=\dfrac{2}{3}$
${{V}_{ABCDSEF}}={{V}_{S.ABCD}}+{{V}_{S.ABEF}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4}{3}.1+\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}.1=\dfrac{2}{3}.$