Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}$ và $y=\left| x+1 \right|-x-m$ ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Tập hợp tất cả các giá trị của m để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
A. $\left( -3;+\infty \right).$
B. $\left( -\infty ;-3 \right).$
C. $\!\![\!\!-3;+\infty ).$
D. $(-\infty ;-3].$
A. $\left( -3;+\infty \right).$
B. $\left( -\infty ;-3 \right).$
C. $\!\![\!\!-3;+\infty ).$
D. $(-\infty ;-3].$
Xét phương trình hoành độ
$\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}=\left| x+1 \right|-x-m$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-\left| x+1 \right|+x=-m\left( 1 \right)$
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của
$F\left( x \right)=\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-\left| x+1 \right|+x=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-1,x>-1 \\
& \dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+2x+1,x<-1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $F'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},x\in \left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0;1 \right\} \\
& \dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+2,x\in \left( -\infty ;-1 \right)\backslash \left\{ -2 \right\} \\
\end{aligned} \right.$
Mặt khác $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=3;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=-\infty $
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=+\infty $
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=+\infty $
Bảng biến thiên:
Để phương trình có 4 nghiệm thì $-m\ge 3\Leftrightarrow m\le -3$
$\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}=\left| x+1 \right|-x-m$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-\left| x+1 \right|+x=-m\left( 1 \right)$
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của
$F\left( x \right)=\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-\left| x+1 \right|+x=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-1,x>-1 \\
& \dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+2x+1,x<-1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $F'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},x\in \left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0;1 \right\} \\
& \dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+2,x\in \left( -\infty ;-1 \right)\backslash \left\{ -2 \right\} \\
\end{aligned} \right.$
Mặt khác $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=3;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=-\infty $
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=+\infty $
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} F\left( x \right)=+\infty $
Bảng biến thiên:
Để phương trình có 4 nghiệm thì $-m\ge 3\Leftrightarrow m\le -3$
Đáp án D.