Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}$ và $y=\left| x+2 \right|-x+m$ (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right).$ Tập hợp tất cả các giá trị của m để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
A. $\left( -\infty ;2 \right].$
B. $\left[ 2;+\infty \right).$
C. $\left( -\infty ;2 \right).$
D. $\left( 2;+\infty \right).$
A. $\left( -\infty ;2 \right].$
B. $\left[ 2;+\infty \right).$
C. $\left( -\infty ;2 \right).$
D. $\left( 2;+\infty \right).$
Xét phương trình $\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}=\left| x+2 \right|-x+m$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x=m$ $\left( 1 \right)$
Hàm số
$p\left( x \right)=\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-2\text{ khi }x\ge -2 \\
& \dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+2x+2\text{ khi }x<-2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${p}'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( -2;+\infty \right)\backslash \left\{ -1;0;1;2 \right\} \\
& \dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+2>0,\forall x<-2 \\
\end{aligned} \right.$
nên hàm số $y=p\left( x \right)$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-1 \right),\left( -1;0 \right),\left( 0;1 \right),\left( 1;2 \right),\left( 2;+\infty \right).$
Mặt khác ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} p\left( x \right)=2$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} p\left( x \right)=-\infty .$
Bảng biến thiên hàm số $y=g\left( x \right):$
Do đó để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân biệt . Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=p\left( x \right)$ tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow m\ge 2.$
Chú ý.
Ta có thể giải ngắn hơn như sau: Phương trình hoành độ giao điểm viết lại thành
$\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x=m.$
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x,$ tập xác định của hàm số này là
$D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( -1;0 \right)\cup \left( 0;1 \right)\cup \left( 1;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right).$ Sử đụng table ta dễ dàng vẽ được bảng biến thiên:
Từ đây suy ra đường thẳng $y=m$ cắt $f\left( x \right)$ tại 4 điểm $\Leftrightarrow m\ge 2.$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x=m$ $\left( 1 \right)$
Hàm số
$p\left( x \right)=\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-2\text{ khi }x\ge -2 \\
& \dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+2x+2\text{ khi }x<-2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${p}'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( -2;+\infty \right)\backslash \left\{ -1;0;1;2 \right\} \\
& \dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+2>0,\forall x<-2 \\
\end{aligned} \right.$
nên hàm số $y=p\left( x \right)$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-1 \right),\left( -1;0 \right),\left( 0;1 \right),\left( 1;2 \right),\left( 2;+\infty \right).$
Mặt khác ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} p\left( x \right)=2$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} p\left( x \right)=-\infty .$
Bảng biến thiên hàm số $y=g\left( x \right):$
Chú ý.
Ta có thể giải ngắn hơn như sau: Phương trình hoành độ giao điểm viết lại thành
$\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x=m.$
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{x-3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}-\left| x+2 \right|+x,$ tập xác định của hàm số này là
$D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( -1;0 \right)\cup \left( 0;1 \right)\cup \left( 1;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right).$ Sử đụng table ta dễ dàng vẽ được bảng biến thiên:
Đáp án B.