Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}$ và $y=\left| x+1 \right|-x-m$ (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$. Tập hợp tất cả các giá trị của m để $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
A. $\left( -3;+\infty \right)$
B. $\left( -\infty ;-3 \right)$
C. $\left[ -3;+\infty \right)$
D. $\left( -\infty ;-3 \right]$
A. $\left( -3;+\infty \right)$
B. $\left( -\infty ;-3 \right)$
C. $\left[ -3;+\infty \right)$
D. $\left( -\infty ;-3 \right]$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ là
$\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-\left| x+1 \right|+x=-m$ (*)
TH1: Với $x>-1\Rightarrow \left| x+1 \right|=x+1$ nên (*) trở thành $\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-1=-m$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-1$ trên $\left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0;1 \right\}$, có
${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}>0$
Suy ra $f\left( x \right)$ làm hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right),\left( 0;1 \right),\left( 1;+\infty \right)$
TH2: Với $x<-1\Rightarrow \left| x+1 \right|=-x+1$ nên (*) trở thành: $\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+2x+1=-m$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+2x+1$ trên $\left( -\infty ;-1 \right)\backslash \left\{ -2 \right\}$, có
${g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+2>0$
Suy ra $g\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-2 \right),\left( -2;-1 \right)$
Do đó với mọi m thì phương trình $g\left( x \right)=-m$ luôn có hai nghiệm phân biệt
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow j\left( x \right)=-m$ có hai nghiệm $\Leftrightarrow -m\ge 3\Leftrightarrow m\le -3$.
$\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-\left| x+1 \right|+x=-m$ (*)
TH1: Với $x>-1\Rightarrow \left| x+1 \right|=x+1$ nên (*) trở thành $\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-1=-m$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}-1$ trên $\left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0;1 \right\}$, có
${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}>0$
Suy ra $f\left( x \right)$ làm hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right),\left( 0;1 \right),\left( 1;+\infty \right)$
TH2: Với $x<-1\Rightarrow \left| x+1 \right|=-x+1$ nên (*) trở thành: $\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+2x+1=-m$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+2x+1$ trên $\left( -\infty ;-1 \right)\backslash \left\{ -2 \right\}$, có
${g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+2>0$
Suy ra $g\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-2 \right),\left( -2;-1 \right)$
Do đó với mọi m thì phương trình $g\left( x \right)=-m$ luôn có hai nghiệm phân biệt
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow j\left( x \right)=-m$ có hai nghiệm $\Leftrightarrow -m\ge 3\Leftrightarrow m\le -3$.
Đáp án D.