Cho hai hàm số $y=\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|$ và...

Phương trình hoành độ giao điểm của $({{C}_{1}})$ và $({{C}_{2}})$ là
$\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x}+4m-2020\Leftrightarrow \dfrac{1}{4x}-\dfrac{3}{4(x-2)}+\dfrac{1}{4}\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|=m-505$ (1)
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{4\text{x}}-\dfrac{3}{4(x-2)}+\dfrac{1}{4}\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|$ trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;2 \right\}$. Ta có
${f}'(x)=\dfrac{1}{4{{\text{x}}^{2}}}+\dfrac{3}{4{{(x-2)}^{2}}}+\dfrac{1}{4}\left[ \dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x} \right]=\dfrac{1}{{{(x-2)}^{2}}}-\dfrac{1}{4}\left[ \dfrac{1}{{{(x-2)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{2}{x(x-2)} \right]$
$=\dfrac{1}{{{(x-2)}^{2}}}-\dfrac{1}{4}{{\left( \dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{{{(x-2)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}}$
Khi đó, ta có bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ :

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
$\left[ \begin{aligned}
& m-505=0 \\
& m-505=\dfrac{1}{4}\ln 3 \\
& m-505=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=505 \\
& m=505+\dfrac{1}{4}\ln 3 \\
& m=506 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu là $505+506=1011$.