Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( m-\left| x \right| \right);y=-{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-16x+18$ có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ trên đoạn $\left[ -2020;2020 \right]$ để $\left( {{C}_{1}} \right)$ cắt $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại 4 điểm phân biệt?
A. 2020.
B. 4041.
C. 4040.
D. 2019.
A. 2020.
B. 4041.
C. 4040.
D. 2019.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$
$\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( m-\left| x \right| \right)=-{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-16x+18 \left( 1 \right)$
Dễ thấy 1; 2; 3 không là nghiệm của (1) nên
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow m-\left| x \right|=\dfrac{-{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-16x+18}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)} \left( 2 \right)$
Biến đổi $\dfrac{-{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-16x+18}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}=-x+a+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x-2}+\dfrac{d}{x-3}$
Dễ dàng xác định được $a=0;b=1;c=2;d=3$ nên
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow m=\left| x \right|-x+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}$ với $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1;2;3 \right\}$
Xét hàm số $y=\left| x \right|-x+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}$ trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;2;3 \right\}$
${y}'=-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}-\dfrac{3}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}+\dfrac{x-\left| x \right|}{\left| x \right|}<0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1;2;3 \right\}$
Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=\left| x \right|-x+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}$ và $y=m$ trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;2;3 \right\}$.
Từ bảng biến thiên suy ra, (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m>0$.
Vậy có 2020 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
$\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( m-\left| x \right| \right)=-{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-16x+18 \left( 1 \right)$
Dễ thấy 1; 2; 3 không là nghiệm của (1) nên
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow m-\left| x \right|=\dfrac{-{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-16x+18}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)} \left( 2 \right)$
Biến đổi $\dfrac{-{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-16x+18}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}=-x+a+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x-2}+\dfrac{d}{x-3}$
Dễ dàng xác định được $a=0;b=1;c=2;d=3$ nên
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow m=\left| x \right|-x+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}$ với $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1;2;3 \right\}$
Xét hàm số $y=\left| x \right|-x+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}$ trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;2;3 \right\}$
${y}'=-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}-\dfrac{3}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}+\dfrac{x-\left| x \right|}{\left| x \right|}<0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1;2;3 \right\}$
Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=\left| x \right|-x+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}$ và $y=m$ trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;2;3 \right\}$.
Từ bảng biến thiên suy ra, (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m>0$.
Vậy có 2020 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Đáp án A.