Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right),y=g'\left( x \right)$ như hình vẽ sau:
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ trên $\left[ -5;5 \right]$, biết rằng ${{S}_{2}}<{{S}_{1}}={{S}_{3}}$. Khi đó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=h\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -5;5 \right]$ lần lượt bằng:
A. $h\left( -5 \right)$ và $h\left( 5 \right).$
B. $h\left( -5 \right)$ và $h\left( -2 \right).$
C. $h\left( 2 \right)$ và $h\left( 5 \right).$
D. $h\left( 2 \right)$ và $h\left( -2 \right).$
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ trên $\left[ -5;5 \right]$, biết rằng ${{S}_{2}}<{{S}_{1}}={{S}_{3}}$. Khi đó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=h\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -5;5 \right]$ lần lượt bằng:
A. $h\left( -5 \right)$ và $h\left( 5 \right).$
B. $h\left( -5 \right)$ và $h\left( -2 \right).$
C. $h\left( 2 \right)$ và $h\left( 5 \right).$
D. $h\left( 2 \right)$ và $h\left( -2 \right).$
Ta có: $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)\Rightarrow h'\left( x \right)=f'\left( x \right)-g'\left( x \right)$.
Ta có bảng biến thiên $y=h\left( x \right)$ :
Từ bảng biến thiên ta có $\underset{\left[ -5;5 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)\in \left\{ h\left( -5 \right);h\left( 2 \right) \right\},\underset{\left[ -5;5 \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)\in \left\{ h\left( -2 \right);h\left( 5 \right) \right\}$.
Từ đồ thị hàm số ta có:
$\begin{aligned}
& {{S}_{1}}={{S}_{3}}\Rightarrow \int\limits_{-5}^{-2}{\left[ f'\left( x \right)-g'\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{2}^{5}{\left[ f'\left( x \right)-g'\left( x \right) \right]dx}\Rightarrow \left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left| \begin{aligned}
& ^{-2} \\
& _{-5} \\
\end{aligned} \right.=\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left| \begin{aligned}
& ^{5} \\
& _{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow h\left( -2 \right)-h\left( -5 \right)=h\left( 5 \right)-h\left( 2 \right). \\
\end{aligned}$
Diện tích ${{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{2}{\left[ g'\left( x \right)-f'\left( x \right) \right]dx}=-h\left( x \right)\left| _{-2}^{2} \right.=h\left( -2 \right)-h\left( 2 \right).$
Ta có ${{S}_{2}}<{{S}_{1}}\Rightarrow h\left( -2 \right)-h\left( 2 \right)<h\left( -2 \right)-h\left( -5 \right)\Rightarrow h\left( -5 \right)<h\left( 2 \right)$. Suy ra $\underset{\left[ -5;5 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( -5 \right).$
Lại có ${{S}_{2}}<{{S}_{3}}\Rightarrow h\left( -2 \right)-h\left( 2 \right)<h\left( 5 \right)-h\left( 2 \right)\Rightarrow h\left( -2 \right)<h\left( 5 \right)$. Suy ra $\underset{\left[ -5;5 \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=h\left( 5 \right).$
Ta có bảng biến thiên $y=h\left( x \right)$ :
Từ bảng biến thiên ta có $\underset{\left[ -5;5 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)\in \left\{ h\left( -5 \right);h\left( 2 \right) \right\},\underset{\left[ -5;5 \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)\in \left\{ h\left( -2 \right);h\left( 5 \right) \right\}$.
Từ đồ thị hàm số ta có:
$\begin{aligned}
& {{S}_{1}}={{S}_{3}}\Rightarrow \int\limits_{-5}^{-2}{\left[ f'\left( x \right)-g'\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{2}^{5}{\left[ f'\left( x \right)-g'\left( x \right) \right]dx}\Rightarrow \left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left| \begin{aligned}
& ^{-2} \\
& _{-5} \\
\end{aligned} \right.=\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\left| \begin{aligned}
& ^{5} \\
& _{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow h\left( -2 \right)-h\left( -5 \right)=h\left( 5 \right)-h\left( 2 \right). \\
\end{aligned}$
Diện tích ${{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{2}{\left[ g'\left( x \right)-f'\left( x \right) \right]dx}=-h\left( x \right)\left| _{-2}^{2} \right.=h\left( -2 \right)-h\left( 2 \right).$
Ta có ${{S}_{2}}<{{S}_{1}}\Rightarrow h\left( -2 \right)-h\left( 2 \right)<h\left( -2 \right)-h\left( -5 \right)\Rightarrow h\left( -5 \right)<h\left( 2 \right)$. Suy ra $\underset{\left[ -5;5 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( -5 \right).$
Lại có ${{S}_{2}}<{{S}_{3}}\Rightarrow h\left( -2 \right)-h\left( 2 \right)<h\left( 5 \right)-h\left( 2 \right)\Rightarrow h\left( -2 \right)<h\left( 5 \right)$. Suy ra $\underset{\left[ -5;5 \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=h\left( 5 \right).$
Đáp án A.