Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+3x$ và $g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-x$, với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1,2$ và $3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{71}{6}$.
B. $\dfrac{64}{9}$.
C. $\dfrac{32}{3}$.
D. $\dfrac{71}{9}$.
A. $\dfrac{71}{6}$.
B. $\dfrac{64}{9}$.
C. $\dfrac{32}{3}$.
D. $\dfrac{71}{9}$.
Gọi hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$.
${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+4$ $\Rightarrow {h}'\left( 0 \right)=4$.
Hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị $-1,2,3$ nên ta có ${h}'\left( x \right)=4a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$
$\Rightarrow {h}'\left( 0 \right)=24a$.
Ta suy ra $24a=4\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{6}$.
Do đó ${h}'\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng
$\int\limits_{-1}^{3}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|dx=\int\limits_{-1}^{3}{\left| \dfrac{2}{3}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|=\dfrac{71}{9}}}$.
${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3\left( b-m \right){{x}^{2}}+2\left( c-n \right)x+4$ $\Rightarrow {h}'\left( 0 \right)=4$.
Hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị $-1,2,3$ nên ta có ${h}'\left( x \right)=4a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$
$\Rightarrow {h}'\left( 0 \right)=24a$.
Ta suy ra $24a=4\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{6}$.
Do đó ${h}'\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng
$\int\limits_{-1}^{3}{\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|dx=\int\limits_{-1}^{3}{\left| \dfrac{2}{3}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|=\dfrac{71}{9}}}$.
Đáp án D.