Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-\dfrac{1}{2}$ và $g\left( x \right)=d{{x}^{2}}+ex+1\left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)$. Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-3;-1;1$ (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A. $\dfrac{9}{2}$.
B. 8.
C. 4.
D. 5.
A. $\dfrac{9}{2}$.
B. 8.
C. 4.
D. 5.
Diện tích hình phẳng cần tìm là
$S=\int\limits_{-3}^{1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{-3}^{1}{\left[ a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2} \right]dx}$.
Trong đó phương trình $a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2}\left( * \right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$. Phương trình (*) có nghiệm $-3;-1;1$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& -27a+9\left( b-d \right)-3\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
& -a+\left( b-d \right)-\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
& a+\left( b-d \right)+\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -27a+9\left( b-d \right)-3\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
& -a+\left( b-d \right)-\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
& a+\left( b-d \right)+\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& \left( b-d \right)=\dfrac{3}{2} \\
& \left( c-e \right)=\dfrac{-1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $S=\int\limits_{-3}^{1}{\left[ \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \right]dx}=4$.
$S=\int\limits_{-3}^{1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{-3}^{1}{\left[ a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2} \right]dx}$.
Trong đó phương trình $a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2}\left( * \right)$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$. Phương trình (*) có nghiệm $-3;-1;1$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& -27a+9\left( b-d \right)-3\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
& -a+\left( b-d \right)-\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
& a+\left( b-d \right)+\left( c-e \right)-\dfrac{3}{2}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -27a+9\left( b-d \right)-3\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
& -a+\left( b-d \right)-\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
& a+\left( b-d \right)+\left( c-e \right)=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& \left( b-d \right)=\dfrac{3}{2} \\
& \left( c-e \right)=\dfrac{-1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $S=\int\limits_{-3}^{1}{\left[ \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \right]dx}=4$.
Đáp án C.