Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln \left( x+1 \right)}$ và $g\left( x \right)=\dfrac{mx-m-1}{x-1}$. Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt là
A. 11
B. 8
C. 10
D. 9
A. 11
B. 8
C. 10
D. 9
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
$\dfrac{2}{{{5}^{x}}}=\dfrac{5}{\ln \left( x+1 \right)}=\dfrac{mx-m-1}{x-1}\Leftrightarrow \dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln \left( x+1 \right)}=m-\dfrac{1}{x-1}\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln \left( x+1 \right)}+\dfrac{1}{x-1}$
Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln \left( x+1 \right)}+\dfrac{1}{x-1}$ trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0;1 \right\}$
Ta có ${h}'\left( x \right)=-\dfrac{2\ln 5}{{{5}^{x}}}-\dfrac{5}{\left( x+1 \right)\ln \left( x+1 \right)}-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0\Rightarrow h\left( x \right)$ là hàm số nghịch biến trên D
Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m=h\left( x \right)$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0<m<h\left( -1 \right)\approx 9,5$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\to $ có 9 giá trị nguyên của tham số m.
$\dfrac{2}{{{5}^{x}}}=\dfrac{5}{\ln \left( x+1 \right)}=\dfrac{mx-m-1}{x-1}\Leftrightarrow \dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln \left( x+1 \right)}=m-\dfrac{1}{x-1}\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln \left( x+1 \right)}+\dfrac{1}{x-1}$
Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln \left( x+1 \right)}+\dfrac{1}{x-1}$ trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0;1 \right\}$
Ta có ${h}'\left( x \right)=-\dfrac{2\ln 5}{{{5}^{x}}}-\dfrac{5}{\left( x+1 \right)\ln \left( x+1 \right)}-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0\Rightarrow h\left( x \right)$ là hàm số nghịch biến trên D
Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m=h\left( x \right)$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0<m<h\left( -1 \right)\approx 9,5$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\to $ có 9 giá trị nguyên của tham số m.
Đáp án D.