Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ đều có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn:
${{f}^{2}}\left( 2-x \right)-2{{f}^{2}}\left( 2+3x \right)+{{x}^{2}}.g\left( x \right)+36x=0$, với $\forall x\in \mathbb{R}.$ Tính $A=3f\left( 2 \right)+4{f}'\left( 2 \right)$ được kết quả bằng
A. 11.
B. 13.
C. 14.
D. 10.
${{f}^{2}}\left( 2-x \right)-2{{f}^{2}}\left( 2+3x \right)+{{x}^{2}}.g\left( x \right)+36x=0$, với $\forall x\in \mathbb{R}.$ Tính $A=3f\left( 2 \right)+4{f}'\left( 2 \right)$ được kết quả bằng
A. 11.
B. 13.
C. 14.
D. 10.
Với $\forall x\in \mathbb{R},$ ta có ${{f}^{3}}\left( 2-x \right)-2{{f}^{2}}\left( 2+3x \right)+{{x}^{2}}.g\left( x \right)+36x=0 \left( 1 \right)$
Đạo hàm hai vế của (1), ta được
$-3{{f}^{2}}\left( 2-x \right).{f}'\left( 2-x \right)-12f\left( 2+3x \right).{f}'\left( 2+3x \right)+2x.g\left( x \right)+{{x}^{2}}.{g}'\left( x \right)+36=0 \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2), thay $x=0,$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{3}}\left( 2 \right)-2{{f}^{2}}\left( 2 \right)=0 \left( 3 \right) \\
& -3{{f}^{2}}\left( 2 \right).{f}'\left( 2 \right)-12f\left( 2 \right).{f}'\left( 2 \right)+36=0 \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (3), ta có $f\left( 2 \right)=0\vee f\left( 2 \right)=2.$ Với $f\left( 2 \right)=0,$ thế vào (4) ta được 36 = 0 (vô lí).
Với $f\left( 2 \right)=2$, thế vào (4) ta được $-36.f'\left( 2 \right)+36=0\Leftrightarrow f'\left( 2 \right)=1$
Vậy $A=3f\left( 2 \right)+4f\left( 2 \right)=3.2+4.1=10.$
Đạo hàm hai vế của (1), ta được
$-3{{f}^{2}}\left( 2-x \right).{f}'\left( 2-x \right)-12f\left( 2+3x \right).{f}'\left( 2+3x \right)+2x.g\left( x \right)+{{x}^{2}}.{g}'\left( x \right)+36=0 \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2), thay $x=0,$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{f}^{3}}\left( 2 \right)-2{{f}^{2}}\left( 2 \right)=0 \left( 3 \right) \\
& -3{{f}^{2}}\left( 2 \right).{f}'\left( 2 \right)-12f\left( 2 \right).{f}'\left( 2 \right)+36=0 \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (3), ta có $f\left( 2 \right)=0\vee f\left( 2 \right)=2.$ Với $f\left( 2 \right)=0,$ thế vào (4) ta được 36 = 0 (vô lí).
Với $f\left( 2 \right)=2$, thế vào (4) ta được $-36.f'\left( 2 \right)+36=0\Leftrightarrow f'\left( 2 \right)=1$
Vậy $A=3f\left( 2 \right)+4f\left( 2 \right)=3.2+4.1=10.$
Đáp án D.