Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ và parabol $y=g\left( x \right)$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ thỏa mãn ${{x}_{3}}={{x}_{1}}+4$ và ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (như hình vẽ). Biết rằng diện tích hình phẳng ${{S}_{1}}=\dfrac{17}{2}$ và $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{g\left( x \right)dx}=\dfrac{21}{2}$. Diện tích hình phẳng ${{S}_{2}}$ bằng
A. ${{S}_{2}}=\dfrac{11}{2}$.
B. ${{S}_{2}}=\dfrac{13}{2}$.
C. ${{S}_{2}}=\dfrac{15}{2}$.
D. ${{S}_{2}}=\dfrac{9}{2}$.
A. ${{S}_{2}}=\dfrac{11}{2}$.
B. ${{S}_{2}}=\dfrac{13}{2}$.
C. ${{S}_{2}}=\dfrac{15}{2}$.
D. ${{S}_{2}}=\dfrac{9}{2}$.
Ta có
${{S}_{1}}=\dfrac{17}{2};\dfrac{21}{2}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{g\left( x \right)dx}={{S}_{1}}+\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)dx}\Leftrightarrow \int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)dx}=2$
Khi đó
${{S}_{2}}=\dfrac{9}{2}.4-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{g\left( x \right)dx}-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)dx}=\dfrac{15}{2}-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)dx}$
Phương trình $f\left( x \right)-g\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ có 3 nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên $-\dfrac{b}{a}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-\dfrac{b}{3a}$, suy ra ${{x}_{2}}$ là điểm uốn của đồ thị hàm số $f\left( x \right)-g\left( x \right)$.
Do đó $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)dx}=0\Leftrightarrow \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)dx}=\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)dx}=2$.
$\Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{15}{2}-2=\dfrac{11}{2}$.
${{S}_{1}}=\dfrac{17}{2};\dfrac{21}{2}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{g\left( x \right)dx}={{S}_{1}}+\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)dx}\Leftrightarrow \int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)dx}=2$
Khi đó
${{S}_{2}}=\dfrac{9}{2}.4-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{g\left( x \right)dx}-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)dx}=\dfrac{15}{2}-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)dx}$
Phương trình $f\left( x \right)-g\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ có 3 nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên $-\dfrac{b}{a}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-\dfrac{b}{3a}$, suy ra ${{x}_{2}}$ là điểm uốn của đồ thị hàm số $f\left( x \right)-g\left( x \right)$.
Do đó $\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)dx}=0\Leftrightarrow \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)dx}=\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left( g\left( x \right)-f\left( x \right) \right)dx}=2$.
$\Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{15}{2}-2=\dfrac{11}{2}$.
Đáp án A.