Google
Câu hỏi: Cho hai đường tròn $({{O}_{1}};5)$ và $({{O}_{2}};3)$ cắt nhau tại 2 điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn (O2) . Gọi (D) là hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần tô màu như hình vẽ). Quay (D) quanh trục O1O2 ta được 1 khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
A. $36\pi $
B. $\dfrac{68\pi }{3}$
C. $\dfrac{14\pi }{3}$
D. $\dfrac{40\pi }{3}$
A. $36\pi $
B. $\dfrac{68\pi }{3}$
C. $\dfrac{14\pi }{3}$
D. $\dfrac{40\pi }{3}$
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ${{O}_{1}}\equiv O$ (gốc tọa độ).
Phương trình đường tròn $({{O}_{1}};5)$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25\Rightarrow y=\pm \sqrt{25-{{x}^{2}}}$
Tam giác ${{O}_{1}}{{O}_{2}}A$ vuông tại O2, có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}=\sqrt{{{O}_{1}}{{A}^{2}}-{{O}_{2}}{{A}^{2}}}=4$
Phương trình đường tròn $({{O}_{2}};3)$ là ${{(x-4)}^{2}}+{{y}^{2}}=9\Rightarrow y=\pm \sqrt{9-{{(x-4)}^{2}}}$
• Gọi V1 là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D1 được giới hạn bởi các đường
$y=\sqrt{9-{{(x-4)}^{2}}},y=0,x=4,x=7$ quanh trục tung $\Rightarrow {{V}_{1}}=\pi .\int\limits_{4}^{7}{\left[ 9-{{(x-4)}^{2}} \right]}dx$
• Gọi V2 là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D2 được giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{25-{{x}^{2}}},y=0,x=4,x=5$ quanh trục tung
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\pi .\int\limits_{4}^{5}{(25-{{x}^{2}})dx}$. Vậy thể tích cần tính là $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\dfrac{40\pi }{3}$
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = m; x = n là: $V=\pi \int\limits_{n}^{m}{{{f}^{2}}(x)dx}$
Phương trình đường tròn $({{O}_{1}};5)$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25\Rightarrow y=\pm \sqrt{25-{{x}^{2}}}$
Tam giác ${{O}_{1}}{{O}_{2}}A$ vuông tại O2, có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}=\sqrt{{{O}_{1}}{{A}^{2}}-{{O}_{2}}{{A}^{2}}}=4$
Phương trình đường tròn $({{O}_{2}};3)$ là ${{(x-4)}^{2}}+{{y}^{2}}=9\Rightarrow y=\pm \sqrt{9-{{(x-4)}^{2}}}$
• Gọi V1 là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D1 được giới hạn bởi các đường
$y=\sqrt{9-{{(x-4)}^{2}}},y=0,x=4,x=7$ quanh trục tung $\Rightarrow {{V}_{1}}=\pi .\int\limits_{4}^{7}{\left[ 9-{{(x-4)}^{2}} \right]}dx$
• Gọi V2 là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D2 được giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{25-{{x}^{2}}},y=0,x=4,x=5$ quanh trục tung
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\pi .\int\limits_{4}^{5}{(25-{{x}^{2}})dx}$. Vậy thể tích cần tính là $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\dfrac{40\pi }{3}$
Note 31: Phương pháp chung
Phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ ; bán kính r là: ${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{r}^{2}}$ Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = m; x = n là: $V=\pi \int\limits_{n}^{m}{{{f}^{2}}(x)dx}$
Đáp án D.