Google
Câu hỏi: Cho hai đường tròn $\left( {{O}_{1}};5 \right)$ và $\left( {{O}_{2}};3 \right)$ cắt nhau tại 2 điểm A,B sao cho AB là 1 đường kính của đường tròn $\left( {{O}_{2}} \right).$ Gọi $\left( D \right)$ là hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần tô màu như hình vẽ). Quay $\left( D \right)$ quanh trục ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ ta được 1 khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
A. $V=36\pi .$
B. $V=\dfrac{68\pi }{3}.$
C. $V=\dfrac{14\pi }{3}.$
D. $V=\dfrac{40\pi }{3}.$
B. $V=\dfrac{68\pi }{3}.$
C. $V=\dfrac{14\pi }{3}.$
D. $V=\dfrac{40\pi }{3}.$
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ${{O}_{1}}\equiv O$ (gốc tọa độ).
Phương trình đường tròn $\left( {{O}_{1}};5 \right)$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{5}^{2}}\Rightarrow y=\pm \sqrt{25-{{x}^{2}}}.$
Tam giác ${{O}_{1}}{{O}_{2}}A$ vuông tại ${{O}_{2}}$ có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}=\sqrt{{{O}_{1}}{{A}^{2}}-{{O}_{2}}{{A}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4.$
Phương trình đường tròn $\left( {{O}_{2}};3 \right)$ là ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9\Rightarrow y=\pm \sqrt{9{{\left( x-4 \right)}^{2}}.}$
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng ${{D}_{1}}$ được giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{9-{{\left( x-4 \right)}^{2}}};y=0;x=4;x=7$ quanh trục tung
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\pi \underset{4}{\overset{7}{\mathop \int }} \left[ 9-{{\left( 4-x \right)}^{2}} \right]dx.$
Gọi ${{V}_{2}}$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng ${{D}_{2}}$ được giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{25-{{x}^{2}}};y=0;x=4;x=5$ quanh trục tung
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\pi \underset{4}{\overset{5}{\mathop \int }} \left( 25-{{x}^{2}} \right)dx.$
Vậy thể tích cần tính là $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\dfrac{40\pi }{3}.$ Chọn D.
Phương trình đường tròn $\left( {{O}_{1}};5 \right)$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{5}^{2}}\Rightarrow y=\pm \sqrt{25-{{x}^{2}}}.$
Tam giác ${{O}_{1}}{{O}_{2}}A$ vuông tại ${{O}_{2}}$ có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}=\sqrt{{{O}_{1}}{{A}^{2}}-{{O}_{2}}{{A}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4.$
Phương trình đường tròn $\left( {{O}_{2}};3 \right)$ là ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9\Rightarrow y=\pm \sqrt{9{{\left( x-4 \right)}^{2}}.}$
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng ${{D}_{1}}$ được giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{9-{{\left( x-4 \right)}^{2}}};y=0;x=4;x=7$ quanh trục tung
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\pi \underset{4}{\overset{7}{\mathop \int }} \left[ 9-{{\left( 4-x \right)}^{2}} \right]dx.$
Gọi ${{V}_{2}}$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng ${{D}_{2}}$ được giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{25-{{x}^{2}}};y=0;x=4;x=5$ quanh trục tung
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\pi \underset{4}{\overset{5}{\mathop \int }} \left( 25-{{x}^{2}} \right)dx.$
Vậy thể tích cần tính là $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\dfrac{40\pi }{3}.$ Chọn D.
Đáp án D.