Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ mà hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.
Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $m+{{x}^{2}}<f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;3 \right)$ là
A. $m<f\left( 0 \right)$.
B. $m\le f\left( 0 \right)$.
C. $m\le f\left( 3 \right)$.
D. $m\le f\left( 1 \right)-\dfrac{2}{3}$.
Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $m+{{x}^{2}}<f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;3 \right)$ là
A. $m<f\left( 0 \right)$.
B. $m\le f\left( 0 \right)$.
C. $m\le f\left( 3 \right)$.
D. $m\le f\left( 1 \right)-\dfrac{2}{3}$.
Bất phương trình $\Leftrightarrow m<f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}$ ; $\forall x\in \left( 0;3 \right)$
$\Leftrightarrow m<\underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}$
Xét hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( 0;3 \right)$, có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{x}^{2}}-2x$
Với $0<x<3\Rightarrow -1\le {{x}^{2}}-2x<3$ và từ hình vẽ $\Rightarrow 1<{f}'\left( x \right)\le 3$
Do đó $6>{f}'\left( x \right)+{{x}^{2}}-2x>0\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)>0$ ; $\forall x\in \left( 0;3 \right)$
Suy ra $g\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;3 \right)\Rightarrow \underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=f\left( 0 \right)$
Xét điều kiện xảy ra dấu bằng, ta được $m\le f\left( 0 \right)$ là giá trị cần tìm.
$\Leftrightarrow m<\underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}$
Xét hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( 0;3 \right)$, có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{x}^{2}}-2x$
Với $0<x<3\Rightarrow -1\le {{x}^{2}}-2x<3$ và từ hình vẽ $\Rightarrow 1<{f}'\left( x \right)\le 3$
Do đó $6>{f}'\left( x \right)+{{x}^{2}}-2x>0\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)>0$ ; $\forall x\in \left( 0;3 \right)$
Suy ra $g\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;3 \right)\Rightarrow \underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=f\left( 0 \right)$
Xét điều kiện xảy ra dấu bằng, ta được $m\le f\left( 0 \right)$ là giá trị cần tìm.
Đáp án B.