Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ mà đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình bên. Hàm số $y=f\left( x-1 \right)+{{x}^{2}}-2x$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( 1;2 \right).$
B. $\left( -1;0 \right).$
C. $\left( 0;1 \right).$
D. $\left( -2;-1 \right).$
Ta có $y=f\left( x-1 \right)+{{x}^{2}}-2x$
Khi đó ${y}'={f}'\left( x-1 \right)+2x-2$. Hàm số đồng biến khi ${y}'\ge 0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x-1 \right)+2\left( x-1 \right)\ge 0 \left( 1 \right)$
Đặt $t=x-1$ thì $\left( 1 \right)$ trở thành: ${f}'\left( t \right)+2t\ge 0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)\ge -2t$.
Quan sát đồ thị hàm số $y={f}'\left( t \right)$ và $y=-2t$ trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó ta thấy với $t\in \left( 0;1 \right)$ thì đồ thị hàm số $y={f}'\left( t \right)$ luôn nằm trên đường thẳng $y=-2t$.
Suy ra ${f}'\left( t \right)+2t>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$. Do đó $\forall x\in \left( 1;2 \right)$ thì hàm số $y=f\left( x-1 \right)+{{x}^{2}}-2x$ đồng biến.
B. $\left( -1;0 \right).$
C. $\left( 0;1 \right).$
D. $\left( -2;-1 \right).$
Ta có $y=f\left( x-1 \right)+{{x}^{2}}-2x$
Khi đó ${y}'={f}'\left( x-1 \right)+2x-2$. Hàm số đồng biến khi ${y}'\ge 0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x-1 \right)+2\left( x-1 \right)\ge 0 \left( 1 \right)$
Đặt $t=x-1$ thì $\left( 1 \right)$ trở thành: ${f}'\left( t \right)+2t\ge 0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)\ge -2t$.
Quan sát đồ thị hàm số $y={f}'\left( t \right)$ và $y=-2t$ trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Suy ra ${f}'\left( t \right)+2t>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)$. Do đó $\forall x\in \left( 1;2 \right)$ thì hàm số $y=f\left( x-1 \right)+{{x}^{2}}-2x$ đồng biến.
Đáp án A.