Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-5m-4 \right)x-8\sqrt{x+1}-3{{m}^{2}}+6m+19.$ Tổng các giá trị của $m$ để $f\left( f\ge 0 \right),\forall x\in \left[ -1;+\infty \right)$ bằng bao nhiêu?
A. $-3.$
B. 3.
C. $-1.$
D. 1.
A. $-3.$
B. 3.
C. $-1.$
D. 1.
Ta có $\forall x\in \left[ -1;+\infty \right)$ thì
$f\left( x \right)=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-5m-4 \right)x-8\sqrt{x+1}-3{{m}^{2}}+6m+19\ge 0.$
Đặt $t=\sqrt{x+1}\ge 0.$
Khi đó $f\left( x \right)=\left( m+1 \right){{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-5m-4 \right)\left( {{t}^{2}}-1 \right)-8t-3{{m}^{2}}+6m+19\ge 0;\forall x\ge -1$
$\Leftrightarrow \left( m+1 \right){{t}^{4}}+\left( {{m}^{2}}-7m-6 \right){{t}^{2}}-8t-4{{m}^{2}}+12m+24\ge 0;\forall t\ge 0$
$\Leftrightarrow \left( m+1 \right){{t}^{4}}+\left( {{m}^{2}}-7m-6 \right){{t}^{2}}-8t-4{{m}^{2}}+12m+24\ge 0;\forall t\ge 0$
$\Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left[ \left( m+1 \right)\left( t+2 \right)\left( {{t}^{2}}+4 \right)+\left( {{m}^{2}}-7m-6 \right)\left( t+2 \right)-8 \right]\ge 0;\forall t\ge 0.$
Suy ra $g\left( t \right)=\left( m+1 \right)\left( t+2 \right)\left( {{t}^{2}}+4 \right)+\left( {{m}^{2}}-7m-6 \right)\left( t+2 \right)-8$ có $t=2$ là nghiệm bội lẻ.
Ta có $g\left( 2 \right)=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại
* Với $m=0$ thì
$g\left( t \right)=\left( t+2 \right)\left( {{t}^{2}}+4 \right)-6\left( t+2 \right)-8=0\Leftrightarrow {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}-2t-12=0\Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( {{t}^{2}}+4t+6 \right)=0.$
* Với $m=-1$ thì $g\left( t \right)=2t-4=0\Leftrightarrow t=2$.
Suy ra $m=-1$ thỏa mãn.
Vậy tổng các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $-1+0=-1.$
$f\left( x \right)=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-5m-4 \right)x-8\sqrt{x+1}-3{{m}^{2}}+6m+19\ge 0.$
Đặt $t=\sqrt{x+1}\ge 0.$
Khi đó $f\left( x \right)=\left( m+1 \right){{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-5m-4 \right)\left( {{t}^{2}}-1 \right)-8t-3{{m}^{2}}+6m+19\ge 0;\forall x\ge -1$
$\Leftrightarrow \left( m+1 \right){{t}^{4}}+\left( {{m}^{2}}-7m-6 \right){{t}^{2}}-8t-4{{m}^{2}}+12m+24\ge 0;\forall t\ge 0$
$\Leftrightarrow \left( m+1 \right){{t}^{4}}+\left( {{m}^{2}}-7m-6 \right){{t}^{2}}-8t-4{{m}^{2}}+12m+24\ge 0;\forall t\ge 0$
$\Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left[ \left( m+1 \right)\left( t+2 \right)\left( {{t}^{2}}+4 \right)+\left( {{m}^{2}}-7m-6 \right)\left( t+2 \right)-8 \right]\ge 0;\forall t\ge 0.$
Suy ra $g\left( t \right)=\left( m+1 \right)\left( t+2 \right)\left( {{t}^{2}}+4 \right)+\left( {{m}^{2}}-7m-6 \right)\left( t+2 \right)-8$ có $t=2$ là nghiệm bội lẻ.
Ta có $g\left( 2 \right)=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại
* Với $m=0$ thì
$g\left( t \right)=\left( t+2 \right)\left( {{t}^{2}}+4 \right)-6\left( t+2 \right)-8=0\Leftrightarrow {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}-2t-12=0\Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( {{t}^{2}}+4t+6 \right)=0.$
* Với $m=-1$ thì $g\left( t \right)=2t-4=0\Leftrightarrow t=2$.
Suy ra $m=-1$ thỏa mãn.
Vậy tổng các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $-1+0=-1.$
Đáp án C.