Google
Câu hỏi: Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\int{5}x\sqrt[3]{1-{{x}^{2}}}~\text{d}x$, biết $F\left( 1 \right)=0$. Giá trị của $F\left( \sqrt{2} \right)$ là
A. $-\dfrac{15}{8}$
B. $\dfrac{5}{8}$
C. $\dfrac{1}{4}$
D. $-\dfrac{3}{4}$
Đặt $t=\sqrt[3]{1-x^{2}} \Rightarrow t^{3}=1-x^{2} \Rightarrow 3 t^{2} \mathrm{~d} t=-2 x \mathrm{~d} x \Rightarrow x \mathrm{~d} x=-\dfrac{3 t^{2}}{2} \mathrm{~d} t$.
Suy ra $I=-\dfrac{3}{2} \int 5 t^{3} \mathrm{~d} t=-\dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{t^{4}}{4}+C=-\dfrac{15}{8}\left(1-x^{2}\right) \sqrt[3]{1-x^{2}}+C$
Với $F\left( 1 \right)=0\Rightarrow 0+C=0\Rightarrow C=0$. Khi đó: $F\left( x \right)=-\dfrac{15}{8}\left( 1-{{x}^{2}} \right)\sqrt[3]{1-{{x}^{2}}}$
Vậy $F\left( \sqrt{2} \right)=-\dfrac{15}{8}$
A. $-\dfrac{15}{8}$
B. $\dfrac{5}{8}$
C. $\dfrac{1}{4}$
D. $-\dfrac{3}{4}$
Đặt $t=\sqrt[3]{1-x^{2}} \Rightarrow t^{3}=1-x^{2} \Rightarrow 3 t^{2} \mathrm{~d} t=-2 x \mathrm{~d} x \Rightarrow x \mathrm{~d} x=-\dfrac{3 t^{2}}{2} \mathrm{~d} t$.
Suy ra $I=-\dfrac{3}{2} \int 5 t^{3} \mathrm{~d} t=-\dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{t^{4}}{4}+C=-\dfrac{15}{8}\left(1-x^{2}\right) \sqrt[3]{1-x^{2}}+C$
Với $F\left( 1 \right)=0\Rightarrow 0+C=0\Rightarrow C=0$. Khi đó: $F\left( x \right)=-\dfrac{15}{8}\left( 1-{{x}^{2}} \right)\sqrt[3]{1-{{x}^{2}}}$
Vậy $F\left( \sqrt{2} \right)=-\dfrac{15}{8}$
Đáp án A.