Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm số đa thức bậc bốn và hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.
Hỏi hàm số $g\left( x \right)=f\left( \sin x-1 \right)+\dfrac{\cos 2x}{4}$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)$ ?
A. $3$.
B. $5$.
C. $4$.
D. $2$.
Ta có $g\left( x \right)=f\left( \sin x-1 \right)+\dfrac{1}{4}-\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{2}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\cos x.{f}'\left( \sin x-1 \right)-\sin x.\cos x$.
Xét ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x=0 \\
& {f}'\left( \sin x-1 \right)-\sin x=0 \\
\end{aligned} \right.\begin{matrix}
\left( 1 \right) \\
\left( 2 \right) \\
\end{matrix}$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vì $x\in \left( 0;2\pi \right)\Rightarrow 0<\dfrac{\pi }{2}+k\pi <2\pi \Leftrightarrow k\in \left\{ 0;1 \right\}$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( \sin x-1 \right)-\sin x=0\Leftrightarrow {f}'\left( \sin x-1 \right)=\sin x$.
Đặt $t=\sin x-1,x\in \left( 0;2\pi \right)\Rightarrow t\in \left( -2;0 \right)$. Khi đó:
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)$.
A. $3$.
B. $5$.
C. $4$.
D. $2$.
Ta có $g\left( x \right)=f\left( \sin x-1 \right)+\dfrac{1}{4}-\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{2}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\cos x.{f}'\left( \sin x-1 \right)-\sin x.\cos x$.
Xét ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x=0 \\
& {f}'\left( \sin x-1 \right)-\sin x=0 \\
\end{aligned} \right.\begin{matrix}
\left( 1 \right) \\
\left( 2 \right) \\
\end{matrix}$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vì $x\in \left( 0;2\pi \right)\Rightarrow 0<\dfrac{\pi }{2}+k\pi <2\pi \Leftrightarrow k\in \left\{ 0;1 \right\}$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( \sin x-1 \right)-\sin x=0\Leftrightarrow {f}'\left( \sin x-1 \right)=\sin x$.
Đặt $t=\sin x-1,x\in \left( 0;2\pi \right)\Rightarrow t\in \left( -2;0 \right)$. Khi đó:
${f}'\left( t \right)=t+1,t\in \left( -2;0 \right)\Leftrightarrow t=-1\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Vì $x\in \left( 0;2\pi \right)\Rightarrow 0<k\pi <2\pi \Leftrightarrow k\in \left\{ 1 \right\}$.Vậy hàm số có 3 điểm cực trị thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)$.
Đáp án A.