Cho $f\left( x \right)$ là hàm số bậc bốn và hàm số $y={f}'\left(...

Ta có: ${g}'\left( x \right)=\cos x.{f}'\left( \sin x-1 \right)-\sin x.\cos x=\cos x\left( {f}'\left( \sin x-1 \right)-\left( \sin x-1 \right)-1 \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \cos x\left( {f}'\left( \sin x-1 \right)-\left( \sin x-1 \right)-1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x=0 \\
& {f}'\left( \sin x-1 \right)-\left( \sin x-1 \right)-1=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đăt $t=\sin x-1$. Khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành: ${f}'\left( t \right)=t+1\left( 2 \right)$.
Số nghiệm của pt $\left( 2 \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số ${f}'\left( t \right)$ và đường thẳng $y=t+1$
Từ đồ thi hàm số ta có: $\left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=1 \\
& t=a\left( a>1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin x-1=-1 \\
& \sin x-1=1 \\
& \sin x-1=a\left( a>1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin x=0 \\
& \sin x=2\left( VN \right) \\
& \sin x=a+1\left( a>1 \right)\left( VN \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Do $x\in \left( 0;2\pi \right)\Rightarrow x=\pi $.
Và pt: $\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+l\pi \left( l\in \mathbb{Z} \right)$ Do $x\in \left( 0;2\pi \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\pi }{2} \\
& x=\dfrac{3\pi }{2} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\pi }{2} \\
& x=\dfrac{3\pi }{2} \\
& x=\pi \\
\end{aligned} \right.$
Nên hàm số $g\left( x \right)=f\left( \sin x-1 \right)+\dfrac{\cos 2x}{4}$ có $3$ điểm cực trị thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)$