Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;a \right]$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right).f\left( a-x \right)=1 \\
& f\left( x \right)>0,\forall x\in \left[ 0;a \right] \\
\end{aligned} \right. $ và $ \int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( x \right)}=\dfrac{ba}{c}} $, trong đó $ b,c $ là hai số nguyên dương và $ \dfrac{b}{c} $ là phân số tối giản. Khi đó $ b+c$ có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 11;22 \right)$
B. $\left( 0;9 \right)$.
C. $\left( 7;21 \right)$.
D. $\left( 2017;2020 \right)$.
& f\left( x \right).f\left( a-x \right)=1 \\
& f\left( x \right)>0,\forall x\in \left[ 0;a \right] \\
\end{aligned} \right. $ và $ \int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( x \right)}=\dfrac{ba}{c}} $, trong đó $ b,c $ là hai số nguyên dương và $ \dfrac{b}{c} $ là phân số tối giản. Khi đó $ b+c$ có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 11;22 \right)$
B. $\left( 0;9 \right)$.
C. $\left( 7;21 \right)$.
D. $\left( 2017;2020 \right)$.
Đặt $t=a-x\Rightarrow dt=-dx$
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=a;x=a\Rightarrow t=0$.
Lúc đó $I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( x \right)}}=\int\limits_{a}^{0}{\dfrac{-dt}{1+f\left( a-t \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( a-x \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+\dfrac{1}{f\left( x \right)}}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{1+f\left( x \right)}}$.
Suy ra $2I=I+I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( x \right)}}+\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{1+f\left( x \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{1dx}=a$
Do đó $I=\dfrac{1}{2}a\Rightarrow b=1;c=2\Rightarrow b+c=3$.
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=a;x=a\Rightarrow t=0$.
Lúc đó $I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( x \right)}}=\int\limits_{a}^{0}{\dfrac{-dt}{1+f\left( a-t \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( a-x \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+\dfrac{1}{f\left( x \right)}}}=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{1+f\left( x \right)}}$.
Suy ra $2I=I+I=\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{dx}{1+f\left( x \right)}}+\int\limits_{0}^{a}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{1+f\left( x \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{1dx}=a$
Do đó $I=\dfrac{1}{2}a\Rightarrow b=1;c=2\Rightarrow b+c=3$.
Đáp án B.