Cho $f\left( x \right)$ là hàm bậc bốn thỏa mãn $f\left( 0...

Do $f\left( x \right)$ là hàm bậc bốn và từ đồ thị của ${f}'\left( x \right)$, ta có: ${f}'\left( x \right)$ bậc ba có 2 điểm cực trị là $-1;1$ nên ${{f}'}'\left( x \right)=a\left( {{x}^{2}}-1 \right)$.
Suy ra ${f}'\left( x \right)=a\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-x \right)+b$.
Do ${f}'\left( 0 \right)=-3$ và ${f}'\left( -1 \right)=-1$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& b=-3 \\
& a\left( -\dfrac{1}{3}+1 \right)+b=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra ${f}'\left( x \right)=3\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-x \right)-3$
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}} \right)-{{x}^{3}}-x$, có ${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}{f}'\left( {{x}^{3}} \right)-3{{x}^{2}}-1$.
${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{3}} \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{2}}}.$ $\left( 1 \right)$
Bảng biến thiên của ${f}'\left( x \right)$

Dựa vào bảng biến thiên ta có
+ Với $x\in \left( -\infty ;0 \right)$ : ${f}'\left( x \right)<0 \Rightarrow {f}'\left( {{x}^{3}} \right)<0 $, mà $\dfrac{3{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{2}}}>0 $ suy ra $\left( 1 \right)$ vô nghiệm trên $\left( -\infty ;0 \right)$.
+ Trên $\left( 0;+\infty \right)$ : ${f}'\left( x \right)\in \left( -3;+\infty \right)\Rightarrow {f}'\left( {{x}^{3}} \right)\in \left( -3;+\infty \right)$ đồng biến suy ra ${f}'\left( {{x}^{3}} \right)$ đồng biến mà hàm số $y=\dfrac{3{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{2}}}$ nghịch biến nên phương trình $\left( 1 \right)$ có không quá 1 nghiệm. Mặt khác, hàm số $y={f}'\left( {{x}^{3}} \right)-\dfrac{3{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{2}}}$ liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$ và $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ {f}'\left( {{x}^{3}} \right)-\dfrac{3{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{2}}} \right]=-\infty $ ; $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left[ {f}'\left( {{x}^{3}} \right)-\dfrac{3{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{2}}} \right]=+\infty $
Nên $\left( 1 \right)$ có đúng 1 nghiệm $x={{x}_{0}}>0$.
Bảng biến thiên của $h\left( x \right)$ :

Từ đó ta có $h\left( {{x}_{0}} \right)<0$ nên phương trình $h\left( x \right)=0$ có hai nghiệm thực phân biệt. Mặt khác $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|=\left\{ \begin{aligned}
& h\left( x \right) \text{khi }h\left( x \right)\ge 0 \\
& -h\left( x \right) \text{khi }h\left( x \right)<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.